\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum10.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.210~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}}=\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right)$$ <<*>>= )spool schaum10.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(sqrt(x^2-a^2)),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (1) - log(\|x - a - x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (2) log(\|x - a + x) --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x - a + x) - log(\|x - a - x) --R Type: Expression Integer --E --S 4 logmul1:=rule(c*log(a)+c*log(b) == c*log(a*b)) --R --I (4) c log(b) + c log(a) + %I == c log(a b) + %I --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 5 14:210 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=logmul1 cc --R --R 2 --R (5) - log(- a ) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.xxx~~~~~$\displaystyle\int{\frac{x~dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}}=\sqrt{x^2-a^2}$$ <<*>>= )clear all --S 6 aa:=integrate(x/(sqrt(x^2-a^2)),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R - x\|x - a + x - a --R (1) ----------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 7 bb:=sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (2) \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 8 14:xxx Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.211~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}}= \frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 9 aa:=integrate(x^2/sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 4 | 2 2 --R (- 2a x\|x - a + 2a x - a )log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (- 2x + a x)\|x - a + 2x - 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 4x\|x - a - 4x + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 10 bb:=(x*sqrt(x^2-a^2))/2+a^2/2*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 | 2 2 --R a log(\|x - a + x) + x\|x - a --R (2) ----------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 11 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x - a + x) - a log(\|x - a - x) --R (3) ----------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:211 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 2 --R a log(- a ) --R (4) - ----------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.212~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3~dx}{\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}}= \frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{3}+a^2\sqrt{x^2-a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 13 aa:=integrate(x^3/sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x - 5a x + 6a x)\|x - a + 4x + 3a x - 9a x + 2a --R (1) ------------------------------------------------------------ --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x - 3a )\|x - a - 12x + 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 14 bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3+a^2*sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 --R (x + 2a )\|x - a --R (2) -------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 15 14:212 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.213~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}}= \frac{1}{a}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 16 aa:=integrate(1/(x*sqrt(x^2-a^2)),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R 2atan(--------------) --R a --R (1) --------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 17 bb:=1/a*asec(x/a) --R --R x --R asec(-) --R a --R (2) ------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 18 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R 2atan(--------------) - asec(-) --R a a --R (3) ------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 19 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (4) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 20 dd:=asecrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x \|x - a - x --R - 2%i log(------------------) + 4atan(--------------) - %pi --R x a --R (5) ----------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 21 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 22 ee:=atanrule dd --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 23 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2%i log(\|x - a - x + %i a) - 2%i log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R - 2%i log(x |------- + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 24 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a + %i a) + 2%i log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R / --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 25 14:213 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R %pi --R (10) - --- --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.214~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}}= \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a^2x} $$ <<*>>= )clear all --S 26 aa:=integrate(1/(x^2*sqrt(x^2-a^2)),x) --R --R --R 1 --R (1) - ---------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 --R x\|x - a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 27 bb:=sqrt(x^2-a^2)/(a^2*x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a --R (2) ---------- --R 2 --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 28 14:214 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 1 --R (3) -- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.215~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{x^3\sqrt{x^2-a^2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3\sqrt{x^2-a^2}}}= -\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{2a^2x^2}+\frac{1}{2a^3} \sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 29 aa:=integrate(1/(x^3*sqrt(x^2-a^2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 4 2 2 \|x - a - x --R (4x \|x - a - 4x + 2a x )atan(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 3 3 --R (- 2a x + a )\|x - a + 2a x - 2a x --R / --R +-------+ --R 3 3 | 2 2 3 4 5 2 --R 4a x \|x - a - 4a x + 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 30 bb:=sqrt(x^2-a^2)/(2*a^2*x^2)+1/(2*a^3)*asec(x/a) --R --R +-------+ --R | 2 2 2 x --R a\|x - a + x asec(-) --R a --R (2) ----------------------- --R 3 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 31 cc:=aa-bb --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R 2atan(--------------) - asec(-) --R a a --R (3) ------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 32 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 33 dd:=atanrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|x - a + x + %i a x --R - %i log(-----------------------) - asec(-) --R +-------+ a --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (5) ------------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 34 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (6) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 35 ee:=asecrule dd --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 36 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2%i log(\|x - a - x + %i a) - 2%i log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R - 2%i log(x |------- + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 3 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 37 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a + %i a) + 2%i log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R / --R 3 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 38 14:215 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R %pi --R (10) - --- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.216~~~~~$\displaystyle\int{\sqrt{x^2-a^2}}~dx$} $$\int{\sqrt{x^2-a^2}}= \frac{x\sqrt{x^2-a^2}}{2}-\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 39 aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 4 | 2 2 --R (2a x\|x - a - 2a x + a )log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (- 2x + a x)\|x - a + 2x - 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 4x\|x - a - 4x + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 40 bb:=(x*sqrt(x^2-a^2))/2-a^2/2*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x - a + x) + x\|x - a --R (2) ------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 41 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 --R a log(\|x - a + x) + a log(\|x - a - x) --R (3) --------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 42 14:216 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 2 --R a log(- a ) --R (4) ----------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.217~~~~~$\displaystyle\int{x\sqrt{x^2-a^2}}~dx$} $$\int{x\sqrt{x^2-a^2}}= \frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 43 aa:=integrate(x*sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x + 7a x - 3a x)\|x - a + 4x - 9a x + 6a x - a --R (1) ----------------------------------------------------------- --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x - 3a )\|x - a - 12x + 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 44 bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3 --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 --R (x - a )\|x - a --R (2) ------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 45 14:217 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.218~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sqrt{x^2-a^2}}~dx$} $$\int{x^2\sqrt{x^2-a^2}}= \frac{x(x^2-a^2)^{3/2}}{4}+\frac{a^2x\sqrt{x^2-a^2}}{8}- \frac{a^4}{8}\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 46 aa:=integrate(x^2*sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 4 3 6 | 2 2 4 4 6 2 8 | 2 2 --R ((8a x - 4a x)\|x - a - 8a x + 8a x - a )log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 8 2 6 4 4 6 2 --R (- 16x + 24a x - 10a x + a x)\|x - a + 16x - 32a x + 20a x - 4a x --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (64x - 32a x)\|x - a - 64x + 64a x - 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 47 bb:=(x*(x^2-a^2)^(3/2))/4+(a^2*x*sqrt(x^2-a^2))/8-a^4/8*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 3 2 | 2 2 --R - a log(\|x - a + x) + (2x - a x)\|x - a --R (2) ----------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 48 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R a log(\|x - a + x) + a log(\|x - a - x) --R (3) --------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 49 14:218 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 4 2 --R a log(- a ) --R (4) ----------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.219~~~~~$\displaystyle \int{x^3\sqrt{x^2-a^2}}~dx$} $$\int{x^3\sqrt{x^2-a^2}}= \frac{(x^2-a^2)^{5/2}}{5}+\frac{a^2(x^2-a^2)^{3/2}}{3} $$ <<*>>= )clear all --S 50 aa:=integrate(x^3*sqrt(x^2-a^2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 9 2 7 4 5 6 3 8 | 2 2 10 2 8 --R (- 48x + 76a x - 3a x - 35a x + 10a x)\|x - a + 48x - 100a x --R + --R 4 6 6 4 8 2 10 --R 35a x + 40a x - 25a x + 2a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 5 2 3 4 --R (240x - 180a x + 15a )\|x - a - 240x + 300a x - 75a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 51 bb:=(x^2-a^2)^(5/2)/5+(a^2*(x^2-a^2)^(3/2))/3 --R --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (3x - a x - 2a )\|x - a --R (2) ---------------------------- --R 15 --R Type: Expression Integer --E --S 52 14:219 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.220~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}}= \sqrt{x^2-a^2}-a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 53 aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x,x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 \|x - a - x | 2 2 2 2 --R (- 2a\|x - a + 2a x)atan(--------------) - x\|x - a + x - a --R a --R (1) ------------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 54 bb:=sqrt(x^2-a^2)-a*asec(x/a) --R --R +-------+ --R | 2 2 x --R (2) \|x - a - a asec(-) --R a --R Type: Expression Integer --E --S 55 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R (3) - 2a atan(--------------) + a asec(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 56 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 57 dd:=atanrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|x - a + x + %i a x --R (5) %i a log(-----------------------) + a asec(-) --R +-------+ a --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 58 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (6) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 59 ee:=asecrule dd --R --R (7) --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R 2%i a log(------------------) + 2%i a log(-----------------------) + a %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R -------------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 60 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 2%i a log(\|x - a - x + %i a) + 2%i a log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R 2%i a log(x |------- + %i a) - 2%i a log(x) + 2%i a log(- 1) + a %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 61 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2%i a log(\|x - a + %i a) - 2%i a log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 2%i a log(\|x - a - x - %i a) - 2%i a log(x) + 2%i a log(- 1) + a %pi --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 62 14:220 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R a %pi --R (10) ----- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.221~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^2}}= -\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}+\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 63 aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x^2,x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 | 2 2 2 --R (- x\|x - a + x )log(\|x - a - x) + a --R (1) -------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 --R x\|x - a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 64 bb:=-sqrt(x^2-a^2)/x+log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R x log(\|x - a + x) - \|x - a --R (2) ---------------------------------- --R x --R Type: Expression Integer --E --S 65 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x - a + x) - log(\|x - a - x) - 1 --R Type: Expression Integer --E --S 66 14:221 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 --R (4) - log(- a ) - 1 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.222~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x^3}}= -\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{2x^2}+\frac{1}{2a} \sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 67 aa:=integrate(sqrt(x^2-a^2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 4 2 2 \|x - a - x --R (4x \|x - a - 4x + 2a x )atan(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 3 3 --R (2a x - a )\|x - a - 2a x + 2a x --R / --R +-------+ --R 3 | 2 2 4 3 2 --R 4a x \|x - a - 4a x + 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 68 bb:=-sqrt(x^2-a^2)/(2*x^2)+1/(2*a)*asec(x/a) --R --R +-------+ --R | 2 2 2 x --R - a\|x - a + x asec(-) --R a --R (2) ------------------------- --R 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 69 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R 2atan(--------------) - asec(-) --R a a --R (3) ------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 70 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (4) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 71 dd:=asecrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x \|x - a - x --R - 2%i log(------------------) + 4atan(--------------) - %pi --R x a --R (5) ----------------------------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 72 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 73 ee:=atanrule dd --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R - 2%i log(------------------) - 2%i log(-----------------------) - %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (7) ---------------------------------------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 74 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2%i log(\|x - a - x + %i a) - 2%i log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R - 2%i log(x |------- + %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 75 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a + %i a) + 2%i log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a - x - %i a) + 2%i log(x) - 2%i log(- 1) - %pi --R / --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 76 14:222 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R %pi --R (10) - --- --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.223~~~~~$\displaystyle\int{\frac{dx}{(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{(x^2-a^2)^{3/2}}}= -\frac{x}{a^2\sqrt{x^2-a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 77 aa:=integrate(1/(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R 1 --R (1) - --------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x - a - x + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 78 bb:=-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2)) --R --R x --R (2) - ------------ --R +-------+ --R 2 | 2 2 --R a \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 79 14:223 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 1 --R (3) - -- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.224~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x}{(x^2-a^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{\sqrt{x^2-a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 80 aa:=integrate(x/(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R (1) --------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x - a - x + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 81 bb:=-1/sqrt(x^2-a^2) --R --R 1 --R (2) - ---------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 82 14:224 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.225~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2dx}{(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^2}{(x^2-a^2)^{3/2}}}= \frac{-x}{\sqrt{x^2-a^2}}+\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 83 aa:=integrate(x^2/(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 2 2 | 2 2 2 --R (- x\|x - a + x - a )log(\|x - a - x) - a --R (1) ------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R x\|x - a - x + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 84 bb:=-x/sqrt(x^2-a^2)+log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|x - a log(\|x - a + x) - x --R (2) --------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 85 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R (3) - log(\|x - a + x) - log(\|x - a - x) - 1 --R Type: Expression Integer --E --S 86 14:225 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 --R (4) - log(- a ) - 1 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.226~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3dx}{(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{x^3}{(x^2-a^2)^{3/2}}}= \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{x^2-a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 87 aa:=integrate(x^3/(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (- 2x + 4a x)\|x - a + 2x - 5a x + 2a --R (1) -------------------------------------------- --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (2x - a )\|x - a - 2x + 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 88 bb:=sqrt(x^2-a^2)-a^2/sqrt(x^2-a^2) --R --R 2 2 --R x - 2a --R (2) ---------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 89 14:226 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.227~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^2-a^2)^{3/2}}}= \frac{-1}{a^2\sqrt{x^2-a^2}}- \frac{1}{a^3}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 90 aa:=integrate(1/(x*(x^2-a^2)^(3/2)),x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 2 2 \|x - a - x | 2 2 --R (- 2x\|x - a + 2x - 2a )atan(--------------) + a\|x - a - a x --R a --R (1) -------------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R 3 | 2 2 3 2 5 --R a x\|x - a - a x + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 91 bb:=-1/(a^2*sqrt(x^2-a^2))-1/a^3*asec(x/a) --R --R +-------+ --R x | 2 2 --R - asec(-)\|x - a - a --R a --R (2) ----------------------- --R +-------+ --R 3 | 2 2 --R a \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 92 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R - 2atan(--------------) + asec(-) --R a a --R (3) --------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 93 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 94 dd:=atanrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|x - a + x + %i a x --R %i log(-----------------------) + asec(-) --R +-------+ a --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (5) ----------------------------------------- --R 3 --R a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 95 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (6) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 96 ee:=asecrule dd --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R 2%i log(------------------) + 2%i log(-----------------------) + %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (7) -------------------------------------------------------------------- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 97 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 2%i log(\|x - a - x + %i a) + 2%i log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R 2%i log(x |------- + %i a) - 2%i log(x) + 2%i log(- 1) + %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 3 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 98 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 2%i log(\|x - a + %i a) - 2%i log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 2%i log(\|x - a - x - %i a) - 2%i log(x) + 2%i log(- 1) + %pi --R / --R 3 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 99 14:227 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R %pi --R (10) --- --R 3 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.228~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^2-a^2)^{3/2}}}= -\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a^4x}-\frac{x}{a^4\sqrt{x^2-a^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 100 aa:=integrate(1/(x^2*(x^2-a^2)^(3/2)),x) --R --R --R 1 --R (1) - ----------------------------------- --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (2x - a x)\|x - a - 2x + 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 101 bb:=-sqrt(x^2-a^2)/(a^4*x)-x/(a^4*sqrt(x^2-a^2)) --R --R 2 2 --R - 2x + a --R (2) ------------- --R +-------+ --R 4 | 2 2 --R a x\|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 102 14:228 Schaums and Axiom differ by a constant cc:=aa-bb --R --R 2 --R (3) - -- --R 4 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.229~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3(x^2-a^2)^{3/2}}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(x^2-a^2)^{3/2}}}= \frac{1}{2a^2x^2\sqrt{x^2-a^2}}- \frac{3}{2a^4\sqrt{x^2-a^2}}- \frac{3}{2a^5}\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 103 aa:=integrate(1/(x^3*(x^2-a^2)^(3/2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 4 2 \|x - a - x --R ((- 24x + 18a x )\|x - a + 24x - 30a x + 6a x )atan(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 4 3 2 5 | 2 2 5 3 3 5 --R (12a x - 7a x + a )\|x - a - 12a x + 13a x - 3a x --R / --R +-------+ --R 5 5 7 3 | 2 2 5 6 7 4 9 2 --R (8a x - 6a x )\|x - a - 8a x + 10a x - 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 104 bb:=1/(2*a^2*x^2*sqrt(x^2-a^2))-3/(2*a^4*sqrt(x^2-a^2))-3/(2*a^5)*asec(x/a) --R --R +-------+ --R 2 x | 2 2 2 3 --R - 3x asec(-)\|x - a - 3a x + a --R a --R (2) ----------------------------------- --R +-------+ --R 5 2 | 2 2 --R 2a x \|x - a --R Type: Expression Integer --E --S 105 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R - 6atan(--------------) + 3asec(-) --R a a --R (3) ---------------------------------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 106 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 107 dd:=atanrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|x - a + x + %i a x --R 3%i log(-----------------------) + 3asec(-) --R +-------+ a --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (5) ------------------------------------------- --R 5 --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 108 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (6) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 109 ee:=asecrule dd --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R 6%i log(------------------) + 6%i log(-----------------------) + 3%pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (7) --------------------------------------------------------------------- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 110 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 6%i log(\|x - a - x + %i a) + 6%i log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R 6%i log(x |------- + %i a) - 6%i log(x) + 6%i log(- 1) + 3%pi --R | 2 --R \| x --R / --R 5 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 111 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 6%i log(\|x - a + %i a) - 6%i log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 6%i log(\|x - a - x - %i a) - 6%i log(x) + 6%i log(- 1) + 3%pi --R / --R 5 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 112 14:229 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R 3%pi --R (10) ---- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.230~~~~~$\displaystyle\int{(x^2-a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{(x^2-a^2)^{3/2}}= \frac{x(x^2-a^2)^{3/2}}{4}-\frac{3a^2x\sqrt{x^2-a^2}}{8}+ \frac{3}{8}a^4\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 113 aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 4 3 6 | 2 2 4 4 6 2 8 | 2 2 --R ((- 24a x + 12a x)\|x - a + 24a x - 24a x + 3a )log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 7 2 5 4 3 6 | 2 2 8 2 6 4 4 --R (- 16x + 56a x - 42a x + 5a x)\|x - a + 16x - 64a x + 68a x --R + --R 6 2 --R - 20a x --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 --R (64x - 32a x)\|x - a - 64x + 64a x - 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 114 bb:=(x*(x^2-a^2)^(3/2))/4-(3*a^2*x*sqrt(x^2-a^2))/8+3/8*a^4*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 3 2 | 2 2 --R 3a log(\|x - a + x) + (2x - 5a x)\|x - a --R (2) ----------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 115 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 4 | 2 2 4 | 2 2 --R - 3a log(\|x - a + x) - 3a log(\|x - a - x) --R (3) ------------------------------------------------- --R 8 --R Type: Expression Integer --E --S 116 14:230 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 4 2 --R 3a log(- a ) --R (4) - ------------ --R 8 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.231~~~~~$\displaystyle\int{x(x^2-a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x(x^2-a^2)^{3/2}}=\frac{(x^2-a^2)^{5/2}}{5}$$ <<*>>= )clear all --S 117 aa:=integrate(x*(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 9 2 7 4 5 6 3 8 | 2 2 10 2 8 --R (- 16x + 52a x - 61a x + 30a x - 5a x)\|x - a + 16x - 60a x --R + --R 4 6 6 4 8 2 10 --R 85a x - 55a x + 15a x - a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 5 2 3 4 --R (80x - 60a x + 5a )\|x - a - 80x + 100a x - 25a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 118 bb:=(x^2-a^2)^(5/2)/5 --R --R +-------+ --R 4 2 2 4 | 2 2 --R (x - 2a x + a )\|x - a --R (2) --------------------------- --R 5 --R Type: Expression Integer --E --S 119 14:231 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.232~~~~~$\displaystyle\int{x^2(x^2-a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^2(x^2-a^2)^{3/2}}= \frac{x(x^2-a^2)^{5/2}}{6}+\frac{a^2x(x^2-a^2)^{3/2}}{24}- \frac{a^4x\sqrt{x^2-a^2}}{16}+ \frac{a^6}{16}\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 120 aa:=integrate(x^2*(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 6 5 8 3 10 | 2 2 6 6 8 4 10 2 --R (- 96a x + 96a x - 18a x)\|x - a + 96a x - 144a x + 54a x --R + --R 12 --R - 3a --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 11 2 9 4 7 6 5 8 3 10 | 2 2 --R (- 256x + 832a x - 912a x + 404a x - 68a x + 3a x)\|x - a --R + --R 12 2 10 4 8 6 6 8 4 10 2 --R 256x - 960a x + 1296a x - 772a x + 198a x - 18a x --R / --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (1536x - 1536a x + 288a x)\|x - a - 1536x + 2304a x - 864a x + 48a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 121 bb:=(x*(x^2-a^2)^(5/2))/6+(a^2*x*(x^2-a^2)^(3/2))/24-(a^4*x*sqrt(x^2-a^2))/16+a^6/16*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 6 | 2 2 5 2 3 4 | 2 2 --R 3a log(\|x - a + x) + (8x - 14a x + 3a x)\|x - a --R (2) -------------------------------------------------------- --R 48 --R Type: Expression Integer --E --S 122 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 6 | 2 2 6 | 2 2 --R - a log(\|x - a + x) - a log(\|x - a - x) --R (3) ----------------------------------------------- --R 16 --R Type: Expression Integer --E --S 123 14:232 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 6 2 --R a log(- a ) --R (4) - ----------- --R 16 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.233~~~~~$\displaystyle\int{x^3(x^2-a^2)^{3/2}}~dx$} $$\int{x^3(x^2-a^2)^{3/2}}= \frac{(x^2-a^2)^{7/2}}{7}+\frac{a^2(x^2-a^2)^{5/2}}{5} $$ <<*>>= )clear all --S 124 aa:=integrate(x^3*(x^2-a^2)^(3/2),x) --R --R --R (1) --R 13 2 11 4 9 6 7 8 5 10 3 --R - 320x + 1072a x - 1240a x + 467a x + 112a x - 105a x --R + --R 12 --R 14a x --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a --R + --R 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 --R 320x - 1232a x + 1736a x - 973a x + 21a x + 175a x - 49a x --R + --R 14 --R 2a --R / --R +-------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 7 2 5 --R (2240x - 2800a x + 840a x - 35a )\|x - a - 2240x + 3920a x --R + --R 4 3 6 --R - 1960a x + 245a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 125 bb:=(x^2-a^2)^(7/2)/7+(a^2*(x^2-a^2)^(5/2))/5 --R --R +-------+ --R 6 2 4 4 2 6 | 2 2 --R (5x - 8a x + a x + 2a )\|x - a --R (2) ------------------------------------ --R 35 --R Type: Expression Integer --E --S 126 14:233 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.234~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x}}= \frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{3}-a^2\sqrt{x^2-a^2}+ a^3\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 127 aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2)/x,x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 2 5 | 2 2 3 3 5 \|x - a - x --R ((24a x - 6a )\|x - a - 24a x + 18a x)atan(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x + 19a x - 12a x)\|x - a + 4x - 21a x + 21a x - 4a --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (12x - 3a )\|x - a - 12x + 9a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 128 bb:=(x^2-a^2)^(3/2)/3-a^2*sqrt(x^2-a^2)+a^3*asec(x/a) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 x --R (x - 4a )\|x - a + 3a asec(-) --R a --R (2) --------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 129 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 3 \|x - a - x 3 x --R (3) 2a atan(--------------) - a asec(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 130 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (4) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 131 dd:=asecrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R 3 \| x 3 \|x - a - x 3 --R - 2%i a log(------------------) + 4a atan(--------------) - a %pi --R x a --R (5) ----------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 132 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (6) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 133 ee:=atanrule dd --R --R (7) --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R 3 \| x 3 - \|x - a + x + %i a 3 --R - 2%i a log(------------------) - 2%i a log(-----------------------) - a %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R ---------------------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 134 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 3 | 2 2 --R 2%i a log(\|x - a - x + %i a) - 2%i a log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 3 |x - a 3 3 3 --R - 2%i a log(x |------- + %i a) + 2%i a log(x) - 2%i a log(- 1) - a %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 135 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R 3 | 2 2 3 | 2 2 --R - 2%i a log(\|x - a + %i a) + 2%i a log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R 3 | 2 2 3 3 3 --R - 2%i a log(\|x - a - x - %i a) + 2%i a log(x) - 2%i a log(- 1) - a %pi --R / --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 136 14:234 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R 3 --R a %pi --R (10) - ----- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.235~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x^2}}= -\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x}+\frac{3x\sqrt{x^2-a^2}}{2}- \frac{3}{2}a^2\ln\left(x+\sqrt{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 137 aa:=integrate((x^2-a^2)^{3/2}/x^2,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R 2 3 4 | 2 2 2 4 4 2 | 2 2 --R ((12a x - 3a x)\|x - a - 12a x + 9a x )log(\|x - a - x) --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 4x + 3a x + 4a x)\|x - a + 4x - 5a x - 3a x + 2a --R / --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (8x - 2a x)\|x - a - 8x + 6a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 138 bb:=-(x^2-a^2)^(3/2)/x+3*x*sqrt(x^2-a^2)/2-3/2*a^2*log(x+sqrt(x^2-a^2)) --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 2 | 2 2 --R - 3a x log(\|x - a + x) + (x + 2a )\|x - a --R (2) ------------------------------------------------- --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 139 cc:=aa-bb --R --R +-------+ +-------+ --R 2 | 2 2 2 | 2 2 2 --R 3a log(\|x - a + x) + 3a log(\|x - a - x) + 2a --R (3) ----------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 140 14:235 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=complexNormalize cc --R --R 2 2 2 --R 3a log(- a ) + 2a --R (4) ------------------ --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.236~~~~~$\displaystyle \int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x^3}}~dx$} $$\int{\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{x^3}}= -\frac{(x^2-a^2)^{3/2}}{2x^2}+\frac{3}{2}\sqrt{x^2-a^2}- \frac{3}{2}a\sec^{-1}\left|\frac{x}{a}\right| $$ <<*>>= )clear all --S 141 aa:=integrate((x^2-a^2)^(3/2)/x^3,x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 4 3 2 | 2 2 5 3 3 \|x - a - x --R ((- 24a x + 6a x )\|x - a + 24a x - 18a x )atan(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (- 8x + 2a x + 3a x)\|x - a + 8x - 6a x - 3a x + a --R / --R +-------+ --R 4 2 2 | 2 2 5 2 3 --R (8x - 2a x )\|x - a - 8x + 6a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 142 bb:=-(x^2-a^2)^(3/2)/(2*x^2)+(3*sqrt(x^2-a^2))/2-3/2*a*asec(x/a) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 2 x --R (2x + a )\|x - a - 3a x asec(-) --R a --R (2) ----------------------------------- --R 2 --R 2x --R Type: Expression Integer --E --S 143 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x x --R - 6a atan(--------------) + 3a asec(-) --R a a --R (3) -------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 144 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 145 dd:=atanrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R - \|x - a + x + %i a x --R 3%i a log(-----------------------) + 3a asec(-) --R +-------+ a --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R (5) ----------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 146 asecrule:=rule(asec(x) == 1/2*%pi+%i*log(sqrt(1-1/x^2)+%i/x)) --R --R +------+ --R | 2 --R |x - 1 --R x |------ + %i --R | 2 --R \| x --R 2%i log(---------------) + %pi --R x --R (6) asec(x) == ------------------------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 147 ee:=asecrule dd --R --R (7) --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R x |------- + %i a +-------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x - \|x - a + x + %i a --R 6%i a log(------------------) + 6%i a log(-----------------------) + 3a %pi --R x +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x + %i a --R --------------------------------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 148 ff:=expandLog ee --R --R (8) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - 6%i a log(\|x - a - x + %i a) + 6%i a log(\|x - a - x - %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R 6%i a log(x |------- + %i a) - 6%i a log(x) + 6%i a log(- 1) + 3a %pi --R | 2 --R \| x --R / --R 4 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 149 gg:=rootSimp ff --R --R (9) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R 6%i a log(\|x - a + %i a) - 6%i a log(\|x - a - x + %i a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R 6%i a log(\|x - a - x - %i a) - 6%i a log(x) + 6%i a log(- 1) + 3a %pi --R / --R 4 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 150 14:236 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R 3a %pi --R (10) ------ --R 4 --R Type: Expression Complex Integer --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp68-69 \end{thebibliography} \end{document}