\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum15.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.311~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^4+a^4}}$} $$\int{\frac{1}{x^4+a^4}}= \frac{1}{4a^3\sqrt{2}} \ln\left(\frac{x^2+ax\sqrt{2}+a^2}{x^2-ax\sqrt{2}+a^2}\right) -\frac{1}{2a^3\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{ax\sqrt{2}}{x^2-a^2} $$ <<*>>= )spool schaum15.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(1/(x^4+a^4),x) --R --R --R (1) --R +------+ +------+2 +------+ --R | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R |------ log(16a |------ + 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+2 +------+ --R | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R - |------ log(16a |------ - 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+ --R 4 | 1 4 | 1 --R 4a |------ 4a |------ --R +------+ 4| 12 +------+ 4| 12 --R | 1 \|256a | 1 \|256a --R 2 |------ atan(-------------------- - 2 |------ atan(--------------------) --R 4| 12 +------+ 4| 12 +------+ --R \|256a 4 | 1 +-+ \|256a 4 | 1 +-+ --R 4a |------ - x\|2 4a |------ + x\|2 --R 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a --R / --R +-+ --R \|2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=1/(4*a^3*sqrt(2))*log((x^2+a*x*sqrt(2)+a^2)/(x^2-a*x*sqrt(2)+a^2))-1/(2*a^3*sqrt(2))*atan((a*x*sqrt(2))/(x^2-a^2)) --R --R +-+ 2 2 +-+ --R +-+ - a x\|2 - x - a +-+ a x\|2 --R \|2 log(-------------------) - 2\|2 atan(-------) --R +-+ 2 2 2 2 --R a x\|2 - x - a x - a --R (2) ------------------------------------------------- --R 3 --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +------+ +------+2 +------+ --R 3 | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R 4a |------ log(16a |------ + 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+2 +------+ --R 3 | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R - 4a |------ log(16a |------ - 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ --R 4 | 1 --R 4a |------ --R +------+ 4| 12 --R 3 | 1 \|256a --R 8a |------ atan(--------------------) --R 4| 12 +------+ --R \|256a 4 | 1 +-+ --R 4a |------ - x\|2 --R 4| 12 --R \|256a --R + --R +------+ --R 4 | 1 --R 4a |------ --R +------+ 4| 12 +-+ 2 2 --R 3 | 1 \|256a - a x\|2 - x - a --R - 8a |------ atan(-------------------- - log(-------------------) --R 4| 12 +------+ +-+ 2 2 --R \|256a 4 | 1 +-+ a x\|2 - x - a --R 4a |------ + x\|2 --R 4| 12 --R \|256a --R + --R +-+ --R a x\|2 --R 2atan(-------) --R 2 2 --R x - a --R / --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Integer --E --S 4 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 5 dd:=atanrule cc --R --R (5) --R +------+ +------+2 +------+ --R 3 | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R 4a |------ log(16a |------ + 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+2 +------+ --R 3 | 1 8 | 1 4 +-+ | 1 2 --R - 4a |------ log(16a |------ - 4a x\|2 |------ + x ) --R 4| 12 4| 12 4| 12 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ --R 4 | 1 +-+ --R (- 4 + 4%i)a |------ + %i x\|2 --R +------+ 4| 12 --R 3 | 1 \|256a --R 4%i a |------ log(---------------------------------) --R 4| 12 +------+ --R \|256a 4 | 1 +-+ --R (4 + 4%i)a |------ + %i x\|2 --R 4| 12 --R \|256a --R + --R +------+ --R 4 | 1 +-+ --R (- 4 + 4%i)a |------ - %i x\|2 --R +------+ 4| 12 --R 3 | 1 \|256a --R - 4%i a |------ log(---------------------------------) --R 4| 12 +------+ --R \|256a 4 | 1 +-+ --R (4 + 4%i)a |------ - %i x\|2 --R 4| 12 --R \|256a --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - a x\|2 + %i x - %i a - a x\|2 - x - a --R - %i log(-------------------------) - log(-------------------) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R a x\|2 + %i x - %i a a x\|2 - x - a --R / --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 6 ee:=rootSimp dd --R --R (6) --R +-+ --R +-+ 2 2 x\|2 + (1 + %i)a --R log(a x\|2 + x + a ) + %i log(-----------------) --R +-+ --R x\|2 + (1 - %i)a --R + --R +-+ +-+ 2 2 --R x\|2 + (- 1 - %i)a - a x\|2 + %i x - %i a --R - %i log(-------------------) - %i log(-------------------------) --R +-+ +-+ 2 2 --R x\|2 + (- 1 + %i)a a x\|2 + %i x - %i a --R + --R +-+ 2 2 --R - a x\|2 - x - a +-+ 2 2 --R - log(-------------------) - log(- a x\|2 + x + a ) --R +-+ 2 2 --R a x\|2 - x - a --R / --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 7 ff:=expandLog ee --R --R (7) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R %i log(a x\|2 + %i x - %i a ) - %i log(a x\|2 - %i x + %i a ) --R + --R +-+ +-+ --R %i log(x\|2 + (1 + %i)a) - %i log(x\|2 + (1 - %i)a) --R + --R +-+ +-+ --R %i log(x\|2 + (- 1 + %i)a) - %i log(x\|2 + (- 1 - %i)a) --R + --R (- 2 - %i)log(- 1) --R / --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 8 gg:=complexNormalize ff --R --R %i %i --R %i log(--) - %i log(- --) + (- 2 - %i)log(- 1) --R 2 2 --R (8) ---------------------------------------------- --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 9 14:311 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=expandLog gg --R --R %i log(%i) - %i log(- %i) + (- 2 - %i)log(- 1) --R (9) ---------------------------------------------- --R 3 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.312~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{x^4+a^4}}$} $$\int{\frac{x}{x^4+a^4}}= \frac{1}{2a^2}\tan^{-1}\frac{x^2}{a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 10 aa:=integrate(x/(x^4+a^4),x) --R --R --R 2 --R x --R atan(--) --R 2 --R a --R (1) -------- --R 2 --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 11 bb:=1/(2*a^2)*atan(x^2/a^2) --R --R 2 --R x --R atan(--) --R 2 --R a --R (2) -------- --R 2 --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 12 14:312 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.313~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{x^4+a^4}}$} $$\int{\frac{x^2}{x^4+a^4}}= \frac{1}{4a\sqrt{2}} \ln\left(\frac{x^2-ax\sqrt{2}+a^2}{x^2+ax\sqrt{2}+a^2}\right) -\frac{1}{2a\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{ax\sqrt{2}}{x^2-a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 13 aa:=integrate(x^2/(x^4+a^4),x) --R --R --R (1) --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R - |----- log(64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R |----- log(- 64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+3 +-----+3 --R 4 | 1 4 | 1 --R 64a |----- 64a |----- --R +-----+ 4| 4 +-----+ 4| 4 --R | 1 \|256a | 1 \|256a --R 2 |----- atan(--------------------- - 2 |----- atan(---------------------) --R 4| 4 +-----+3 4| 4 +-----+3 --R \|256a 4 | 1 +-+ \|256a 4 | 1 +-+ --R 64a |----- - x\|2 64a |----- + x\|2 --R 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a --R / --R +-+ --R \|2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 14 bb:=1/(4*a*sqrt(2))*log((x^2-a*x*sqrt(2)+a^2)/(x^2+a*x*sqrt(2)+a^2))-1/(2*a*sqrt(2))*atan((a*x*sqrt(2))/(x^2-a^2)) --R --R +-+ 2 2 +-+ --R +-+ - a x\|2 + x + a +-+ a x\|2 --R \|2 log(-------------------) - 2\|2 atan(-------) --R +-+ 2 2 2 2 --R a x\|2 + x + a x - a --R (2) ------------------------------------------------- --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 15 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R - 4a |----- log(64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R 4a |----- log(- 64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+3 --R 4 | 1 --R 64a |----- --R +-----+ 4| 4 --R | 1 \|256a --R 8a |----- atan(---------------------) --R 4| 4 +-----+3 --R \|256a 4 | 1 +-+ --R 64a |----- - x\|2 --R 4| 4 --R \|256a --R + --R +-----+3 --R 4 | 1 --R 64a |----- --R +-----+ 4| 4 +-+ 2 2 --R | 1 \|256a - a x\|2 + x + a --R - 8a |----- atan(--------------------- - log(-------------------) --R 4| 4 +-----+3 +-+ 2 2 --R \|256a 4 | 1 +-+ a x\|2 + x + a --R 64a |----- + x\|2 --R 4| 4 --R \|256a --R + --R +-+ --R a x\|2 --R 2atan(-------) --R 2 2 --R x - a --R / --R +-+ --R 4a\|2 --R Type: Expression Integer --E --S 16 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 17 dd:=atanrule cc --R --R (5) --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R - 4a |----- log(64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+3 --R 4 | 1 +-+ --R (- 64 + 64%i)a |----- + %i x\|2 --R +-----+ 4| 4 --R | 1 \|256a --R 4%i a |----- log(-----------------------------------) --R 4| 4 +-----+3 --R \|256a 4 | 1 +-+ --R (64 + 64%i)a |----- + %i x\|2 --R 4| 4 --R \|256a --R + --R +-----+3 --R 4 | 1 +-+ --R (- 64 + 64%i)a |----- - %i x\|2 --R +-----+ 4| 4 --R | 1 \|256a --R - 4%i a |----- log(-----------------------------------) --R 4| 4 +-----+3 --R \|256a 4 | 1 +-+ --R (64 + 64%i)a |----- - %i x\|2 --R 4| 4 --R \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R 4a |----- log(- 64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - a x\|2 + x + a - a x\|2 + %i x - %i a --R - log(-------------------) - %i log(-------------------------) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R a x\|2 + x + a a x\|2 + %i x - %i a --R / --R +-+ --R 4a\|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 18 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R - 4a |----- log(64a x\|2 |----- + 16a |----- + x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 +-----+2 --R | 1 4 +-+ | 1 4 | 1 2 --R 4a |----- log(64a x\|2 |----- - 16a |----- - x ) --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 --R | 1 4 | 1 +-+ --R 4%i a |----- log((64 + 64%i)a |----- + x\|2 ) --R 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 --R | 1 4 | 1 +-+ --R - 4%i a |----- log((64 + 64%i)a |----- + %i x\|2 ) --R 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 --R | 1 4 | 1 +-+ --R 4%i a |----- log((64 + 64%i)a |----- - %i x\|2 ) --R 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a --R + --R +-----+ +-----+3 +-----+ --R | 1 4 | 1 +-+ | 1 --R - 4%i a |----- log((64 + 64%i)a |----- - x\|2 + 4a log(- 1) |----- --R 4| 4 4| 4 4| 4 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R log(a x\|2 + x + a ) + %i log(a x\|2 + %i x - %i a ) --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - %i log(a x\|2 - %i x + %i a ) - log(a x\|2 - x - a ) --R + --R (- 1 - %i)log(- 1) --R / --R +-+ --R 4a\|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 19 ff:=rootSimp ee --R --R (7) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R %i log(a x\|2 + %i x - %i a ) - %i log(a x\|2 - %i x + %i a ) --R + --R +-+ +-+ --R %i log(x\|2 + (1 + %i)a) - %i log(%i x\|2 + (1 + %i)a) --R + --R +-+ +-+ --R %i log(- %i x\|2 + (1 + %i)a) - %i log(- x\|2 + (1 + %i)a) - %i log(- 1) --R / --R +-+ --R 4a\|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 20 14:313 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=complexNormalize ff --R --R %i log(2) - %i log(- 1) - %i log(- 2) --R (8) ------------------------------------- --R +-+ --R 4a\|2 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.314~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3~dx}{x^4+a^4}}$} $$\int{\frac{x^3}{x^4+a^4}}= \frac{1}{4}\ln(x^4+a^4) $$ <<*>>= )clear all --S 21 aa:=integrate(x^3/(x^4+a^4),x) --R --R --R 4 4 --R log(x + a ) --R (1) ------------ --R 4 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 22 bb:=1/4*log(x^4+a^4) --R --R 4 4 --R log(x + a ) --R (2) ------------ --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 23 14:314 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.315~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^4+a^4)}}~dx$} $$\int{\frac{1}{x(x^4+a^4)}}= \frac{1}{4a^4}\ln\left(\frac{x^4}{x^4+a^4}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 24 aa:=integrate(1/(x*(x^4+a^4)),x) --R --R --R 4 4 --R - log(x + a ) + 4log(x) --R (1) ------------------------ --R 4 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 25 bb:=1/(4*a^4)*log(x^4/(x^4+a^4)) --R --R 4 --R x --R log(-------) --R 4 4 --R x + a --R (2) ------------ --R 4 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 26 cc:=aa-bb --R --R 4 --R 4 4 x --R - log(x + a ) + 4log(x) - log(-------) --R 4 4 --R x + a --R (3) --------------------------------------- --R 4 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 27 14:315 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.316~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^4+a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^4+a^4)}}= -\frac{1}{a^4x}-\frac{1}{4a^5\sqrt{2}} \ln\left(\frac{x^2-ax\sqrt{2}+a^2}{x^2+ax\sqrt{2}+a^2}\right) +\frac{1}{2a^5\sqrt{2}}\tan^{-1}\frac{ax\sqrt{2}}{x^2-a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 28 aa:=integrate(1/(x^2*(x^4+a^4)),x) --R --R --R (1) --R +------+ +------+3 +------+2 --R 4 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R a x |------ log(64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 +------+2 --R 4 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R - a x |------ log(- 64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 --R 64a |------ --R +------+ 4| 20 --R 4 | 1 \|256a --R - 2a x |------ atan(-----------------------) --R 4| 20 +------+3 --R \|256a 16 | 1 +-+ --R 64a |------ - x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 --R 64a |------ --R +------+ 4| 20 --R 4 | 1 \|256a +-+ --R 2a x |------ atan(----------------------- - \|2 --R 4| 20 +------+3 --R \|256a 16 | 1 +-+ --R 64a |------ + x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R / --R 4 +-+ --R a x\|2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 29 bb:=-1/(a^4*x)-1/(4*a^5*sqrt(2))*log((x^2-a*x*sqrt(2)+a^2)/(x^2+a*x*sqrt(2)+a^2))+1/(2*a^5*sqrt(2))*atan((a*x*sqrt(2))/(x^2-a^2)) --R --R +-+ 2 2 +-+ --R +-+ - a x\|2 + x + a +-+ a x\|2 --R - x\|2 log(-------------------) + 2x\|2 atan(-------) - 8a --R +-+ 2 2 2 2 --R a x\|2 + x + a x - a --R (2) ---------------------------------------------------------- --R 5 --R 8a x --R Type: Expression Integer --E --S 30 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R 4a |------ log(64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R - 4a |------ log(- 64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 --R 64a |------ --R +------+ 4| 20 --R 5 | 1 \|256a --R - 8a |------ atan(-----------------------) --R 4| 20 +------+3 --R \|256a 16 | 1 +-+ --R 64a |------ - x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 --R 64a |------ --R +------+ 4| 20 +-+ 2 2 --R 5 | 1 \|256a - a x\|2 + x + a --R 8a |------ atan(----------------------- + log(-------------------) --R 4| 20 +------+3 +-+ 2 2 --R \|256a 16 | 1 +-+ a x\|2 + x + a --R 64a |------ + x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +-+ --R a x\|2 --R - 2atan(-------) --R 2 2 --R x - a --R / --R 5 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Integer --E --S 31 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 32 dd:=atanrule cc --R --R (5) --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R 4a |------ log(64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 +-+ --R (- 64 + 64%i)a |------ + %i x\|2 --R +------+ 4| 20 --R 5 | 1 \|256a --R - 4%i a |------ log(-------------------------------------) --R 4| 20 +------+3 --R \|256a 16 | 1 +-+ --R (64 + 64%i)a |------ + %i x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +------+3 --R 16 | 1 +-+ --R (- 64 + 64%i)a |------ - %i x\|2 --R +------+ 4| 20 --R 5 | 1 \|256a --R 4%i a |------ log(-------------------------------------) --R 4| 20 +------+3 --R \|256a 16 | 1 +-+ --R (64 + 64%i)a |------ - %i x\|2 --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R - 4a |------ log(- 64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - a x\|2 + x + a - a x\|2 + %i x - %i a --R log(-------------------) + %i log(-------------------------) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R a x\|2 + x + a a x\|2 + %i x - %i a --R / --R 5 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 33 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R 4a |------ log(64a x\|2 |------ + 16a |------ + x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 +------+2 --R 5 | 1 16 +-+ | 1 12 | 1 2 --R - 4a |------ log(64a x\|2 |------ - 16a |------ - x ) --R 4| 20 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 --R 5 | 1 16 | 1 +-+ --R - 4%i a |------ log((64 + 64%i)a |------ + x\|2 ) --R 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 --R 5 | 1 16 | 1 +-+ --R 4%i a |------ log((64 + 64%i)a |------ + %i x\|2 ) --R 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 --R 5 | 1 16 | 1 +-+ --R - 4%i a |------ log((64 + 64%i)a |------ - %i x\|2 ) --R 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a --R + --R +------+ +------+3 --R 5 | 1 16 | 1 +-+ --R 4%i a |------ log((64 + 64%i)a |------ - x\|2 ) --R 4| 20 4| 20 --R \|256a \|256a --R + --R +------+ --R 5 | 1 +-+ 2 2 --R - 4a log(- 1) |------ - log(a x\|2 + x + a ) --R 4| 20 --R \|256a --R + --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - %i log(a x\|2 + %i x - %i a ) + %i log(a x\|2 - %i x + %i a ) --R + --R +-+ 2 2 --R log(a x\|2 - x - a ) + (1 + %i)log(- 1) --R / --R 5 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 34 ff:=rootSimp ee --R --R (7) --R +-+ 2 2 +-+ 2 2 --R - %i log(a x\|2 + %i x - %i a ) + %i log(a x\|2 - %i x + %i a ) --R + --R +-+ +-+ --R - %i log(x\|2 + (1 + %i)a) + %i log(%i x\|2 + (1 + %i)a) --R + --R +-+ +-+ --R - %i log(- %i x\|2 + (1 + %i)a) + %i log(- x\|2 + (1 + %i)a) --R + --R %i log(- 1) --R / --R 5 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E --S 35 14:316 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=complexNormalize ff --R --R - %i log(2) + %i log(- 1) + %i log(- 2) --R (8) --------------------------------------- --R 5 +-+ --R 4a \|2 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.317~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3(x^4+a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(x^4+a^4)}}= -\frac{1}{2a^4x^2}-\frac{1}{2a^6}\tan^{-1}\frac{x^2}{a^2} $$ <<*>>= )clear all --S 36 aa:=integrate(1/(x^3*(x^4+a^4)),x) --R --R --R 2 --R 2 x 2 --R - x atan(--) - a --R 2 --R a --R (1) ----------------- --R 6 2 --R 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 37 bb:=-1/(2*a^4*x^2)-1/(2*a^6)*atan(x^2/a^2) --R --R 2 --R 2 x 2 --R - x atan(--) - a --R 2 --R a --R (2) ----------------- --R 6 2 --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 38 14:317 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.318~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{(x^4-a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{(x^4-a^4)}}= \frac{1}{4a^3}\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) -\frac{1}{2a^3}\tan^{-1}\frac{x}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 39 aa:=integrate(1/(x^4-a^4),x) --R --R --R x --R - log(x + a) + log(x - a) - 2atan(-) --R a --R (1) ------------------------------------ --R 3 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 40 bb:=1/(4*a^3)*log((x-a)/(x+a))-1/(2*a^3)*atan(x/a) --R --R x - a x --R log(-----) - 2atan(-) --R x + a a --R (2) --------------------- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 41 cc:=aa-bb --R --R x - a --R - log(x + a) + log(x - a) - log(-----) --R x + a --R (3) -------------------------------------- --R 3 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 42 14:318 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.319~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x~dx}{(x^4-a^4)}}$} $$\int{\frac{x}{(x^4-a^4)}}= \frac{1}{4a^2}\ln\left(\frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 43 aa:=integrate(x/(x^4-a^4),x) --R --R --R 2 2 2 2 --R - log(x + a ) + log(x - a ) --R (1) ----------------------------- --R 2 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 44 bb:=1/(4*a^2)*log((x^2-a^2)/(x^2+a^2)) --R --R 2 2 --R x - a --R log(-------) --R 2 2 --R x + a --R (2) ------------ --R 2 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 45 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 2 2 x - a --R - log(x + a ) + log(x - a ) - log(-------) --R 2 2 --R x + a --R (3) -------------------------------------------- --R 2 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 46 14:319 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.320~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^2~dx}{x^4-a^4}}$} $$\int{\frac{x^2}{x^4-a^4}}= \frac{1}{4a}\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) +\frac{1}{2a}\tan^{-1}\frac{x}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 47 aa:=integrate(x^2/(x^4-a^4),x) --R --R --R x --R - log(x + a) + log(x - a) + 2atan(-) --R a --R (1) ------------------------------------ --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 48 bb:=1/(4*a)*log((x-a)/(x+a))+1/(2*a)*atan(x/a) --R --R x - a x --R log(-----) + 2atan(-) --R x + a a --R (2) --------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 49 cc:=aa-bb --R --R x - a --R - log(x + a) + log(x - a) - log(-----) --R x + a --R (3) -------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 50 14:320 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.321~~~~~$\displaystyle \int{\frac{x^3~dx}{x^4-a^4}}$} $$\int{\frac{x^3}{x^4-a^4}}= \frac{1}{4}\ln(x^4-a^4) $$ <<*>>= )clear all --S 51 aa:=integrate(x^3/(x^4-a^4),x) --R --R --R 4 4 --R log(x - a ) --R (1) ------------ --R 4 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 52 bb:=1/4*log(x^4-a^4) --R --R 4 4 --R log(x - a ) --R (2) ------------ --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 53 14:321 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.322~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x(x^4-a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{x(x^4-a^4)}}= \frac{1}{4a^4}\ln\left(\frac{x^4-a^4}{x^4}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 54 aa:=integrate(1/(x*(x^4-a^4)),x) --R --R --R 4 4 --R log(x - a ) - 4log(x) --R (1) ---------------------- --R 4 --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 55 bb:=1/(4*a^4)*log((x^4-a^4)/x^4) --R --R 4 4 --R x - a --R log(-------) --R 4 --R x --R (2) ------------ --R 4 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 56 cc:=aa-bb --R --R 4 4 --R 4 4 x - a --R log(x - a ) - 4log(x) - log(-------) --R 4 --R x --R (3) ------------------------------------- --R 4 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 57 14:322 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.323~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2(x^4-a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{x^2(x^4-a^4)}}= \frac{1}{a^4x}+\frac{1}{4a^5}\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right) +\frac{1}{2a^5}\tan^{-1}\frac{x}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 58 aa:=integrate(1/(x^2*(x^4-a^4)),x) --R --R --R x --R - x log(x + a) + x log(x - a) + 2x atan(-) + 4a --R a --R (1) ----------------------------------------------- --R 5 --R 4a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 59 bb:=1/(a^4*x)+1/(4*a^5)*log((x-a)/(x+a))+1/(2*a^5)*atan(x/a) --R --R x - a x --R x log(-----) + 2x atan(-) + 4a --R x + a a --R (2) ------------------------------ --R 5 --R 4a x --R Type: Expression Integer --E --S 60 cc:=aa-bb --R --R x - a --R - log(x + a) + log(x - a) - log(-----) --R x + a --R (3) -------------------------------------- --R 5 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 61 14:323 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.324~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^3(x^4-a^4)}}$} $$\int{\frac{1}{x^3(x^4-a^4)}}= \frac{1}{2a^4x^2}+\frac{1}{4a^6}\ln\left(\frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 62 aa:=integrate(1/(x^3*(x^4-a^4)),x) --R --R --R 2 2 2 2 2 2 2 --R - x log(x + a ) + x log(x - a ) + 2a --R (1) --------------------------------------- --R 6 2 --R 4a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 63 bb:=1/(2*a^4*x^2)+1/(4*a^6)*log((x^2-a^2)/(x^2+a^2)) --R --R 2 2 --R 2 x - a 2 --R x log(-------) + 2a --R 2 2 --R x + a --R (2) -------------------- --R 6 2 --R 4a x --R Type: Expression Integer --E --S 64 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R 2 2 2 2 x - a --R - log(x + a ) + log(x - a ) - log(-------) --R 2 2 --R x + a --R (3) -------------------------------------------- --R 6 --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 65 14:324 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp73-74 \end{thebibliography} \end{document}