\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum19.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.399~~~~~$\displaystyle \int{\sin{ax}\cos{ax}}~dx$} $$\int{\sin{ax}\cos{ax}}= \frac{\sin^2{ax}}{2a} $$ <<*>>= )spool schaum19.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(sin(a*x)*cos(a*x),x) --R --R --R 2 --R cos(a x) --R (1) - --------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=sin(a*x)^2/(2*a) --R --R 2 --R sin(a x) --R (2) --------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R - sin(a x) - cos(a x) --R (3) ----------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 4 cossqrrule:=rule(cos(a)^2 == 1-sin(a)^2) --R --R 2 2 --R (4) cos(a) == - sin(a) + 1 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 5 14:399 Schaums and Axiom differ by a constant dd:=cossqrrule cc --R --R 1 --R (5) - -- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.400~~~~~$\displaystyle \int{\sin{px}\cos{qx}}~dx$} $$\int{\sin{px}\cos{qx}}= -\frac{cos(p-q)x}{2(p-q)}-\frac{cos(p+q)x}{2(p+q)} $$ <<*>>= )clear all --S 6 aa:=integrate(sin(p*x)*cos(q*x),x) --R --R --R q sin(p x)sin(q x) + p cos(p x)cos(q x) --R (1) --------------------------------------- --R 2 2 --R q - p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 7 bb:=-cos((p-q)*x)/(2*(p-q))-cos((p+q)*x)/(2*(p+q)) --R --R (- q + p)cos((q + p)x) + (q + p)cos((q - p)x) --R (2) --------------------------------------------- --R 2 2 --R 2q - 2p --R Type: Expression Integer --E --S 8 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2q sin(p x)sin(q x) + (q - p)cos((q + p)x) + 2p cos(p x)cos(q x) --R + --R (- q - p)cos((q - p)x) --R / --R 2 2 --R 2q - 2p --R Type: Expression Integer --E --S 9 14:400 Schaums and Axiom agree complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.401~~~~~$\displaystyle \int{\sin^n{ax}\cos{ax}}~dx$ provided $n \ne -1$} $$\int{\sin^n{ax}\cos{ax}}= \frac{\sin^{n+1}{ax}}{(n+1)a} $$ <<*>>= )clear all --S 10 aa:=integrate(sin(a*x)^n*cos(a*x),x) --R --R --R n log(sin(a x)) --R sin(a x)%e --R (1) ------------------------- --R a n + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 11 bb:=sin(a*x)^(n+1)/((n+1)*a) --R --R n + 1 --R sin(a x) --R (2) ------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 12 cc:=aa-bb --R --R n log(sin(a x)) n + 1 --R sin(a x)%e - sin(a x) --R (3) ----------------------------------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 13 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 14 dd:=explog cc --R --R n + 1 n --R - sin(a x) + sin(a x)sin(a x) --R (5) ----------------------------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 15 14:401 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.402~~~~~$\displaystyle \int{\cos^n{ax}*sin{ax}}~dx$ provided $n \ne -1$} $$\int{\cos^n{ax}*sin{ax}}= -\frac{\cos^{n+1}{ax}}{(n+1)a} $$ <<*>>= )clear all --S 16 aa:=integrate(cos(a*x)^n*sin(a*x),x) --R --R --R n log(cos(a x)) --R cos(a x)%e --R (1) - ------------------------- --R a n + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 17 bb:=-cos(a*x)^(n+1)/((n+1)*a) --R --R n + 1 --R cos(a x) --R (2) - ------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 18 cc:=aa-bb --R --R n log(cos(a x)) n + 1 --R - cos(a x)%e + cos(a x) --R (3) ------------------------------------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 19 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 20 dd:=explog cc --R --R n + 1 n --R cos(a x) - cos(a x)cos(a x) --R (5) --------------------------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 21 14:402 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.403~~~~~$\displaystyle \int{\sin^2{ax}\cos^2{ax}}$} $$\int{\sin^2{ax}\cos^2{ax}}= \frac{x}{8}-\frac{\sin{4ax}}{32a} $$ <<*>>= )clear all --S 22 aa:=integrate(sin(a*x)^2*cos(a*x)^2,x) --R --R --R 3 --R (- 2cos(a x) + cos(a x))sin(a x) + a x --R (1) --------------------------------------- --R 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 23 bb:=x/8-sin(4*a*x)/(32*a) --R --R - sin(4a x) + 4a x --R (2) ------------------ --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 24 cc:=aa-bb --R --R 3 --R sin(4a x) + (- 8cos(a x) + 4cos(a x))sin(a x) --R (3) ---------------------------------------------- --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 25 14:403 Schaums and Axiom agree dd:=complexNormalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.404~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin{ax}\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin{ax}\cos{ax}}}= \frac{1}{a}\ln~\tan{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 26 aa:=integrate(1/(sin(a*x)*cos(a*x)),x) --R --R --R sin(a x) 2cos(a x) --R log(------------) - log(- ------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) --------------------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 27 bb:=1/a*log(tan(a*x)) --R --R log(tan(a x)) --R (2) ------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 28 cc:=aa-bb --R --R sin(a x) 2cos(a x) --R - log(tan(a x)) + log(------------) - log(- ------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (3) --------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 29 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 30 dd:=tanrule cc --R --R sin(a x) sin(a x) 2cos(a x) --R - log(--------) + log(------------) - log(- ------------) --R cos(a x) cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (5) --------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 31 14:404 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=expandLog dd --R --R log(- 2) --R (6) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.405~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin^2{ax}\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin^2{ax}\cos{ax}}}= \frac{1}{a}\ln~\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{ax}{2}\right)-\frac{1}{a\sin{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 32 aa:=integrate(1/(sin(a*x)^2*cos(a*x)),x) --R --R --R (1) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R sin(a x)log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - sin(a x)log(-----------------------) - 1 --R cos(a x) + 1 --R / --R a sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 33 bb:=1/a*log(tan(%pi/4+(a*x)/2))-1/(a*sin(a*x)) --R --R 2a x + %pi --R sin(a x)log(tan(----------)) - 1 --R 4 --R (2) -------------------------------- --R a sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 34 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 35 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 36 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R + --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R - log(---------------) --R 2a x + %pi --R cos(----------) --R 4 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 37 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) --R + --R 2a x + %pi 2a x + %pi --R - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) --R 4 4 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 38 14:405 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize % --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.406~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin{ax}\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin{ax}\cos^2{ax}}}= \frac{1}{a}\ln~\tan\frac{ax}{2}+\frac{1}{a\cos{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 39 aa:=integrate(1/(sin(a*x)*cos(a*x)^2),x) --R --R --R sin(a x) --R cos(a x)log(------------) + cos(a x) + 1 --R cos(a x) + 1 --R (1) ---------------------------------------- --R a cos(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 40 bb:=1/a*log(tan((a*x)/2))+1/(a*cos(a*x)) --R --R a x --R cos(a x)log(tan(---)) + 1 --R 2 --R (2) ------------------------- --R a cos(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 41 cc:=aa-bb --R --R a x sin(a x) --R - log(tan(---)) + log(------------) + 1 --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) --------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 42 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 43 dd:=tanrule cc --R --R a x --R sin(---) --R sin(a x) 2 --R log(------------) - log(--------) + 1 --R cos(a x) + 1 a x --R cos(---) --R 2 --R (5) ------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 44 ee:=expandLog dd --R --R a x a x --R log(sin(a x)) - log(sin(---)) - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---)) + 1 --R 2 2 --R (6) --------------------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 45 14:406 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R 1 --R (7) - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.407~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin^2{ax}\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin^2{ax}\cos^2{ax}}}= -\frac{2\cot{2ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 46 aa:=integrate(1/(sin(a*x)^2*cos(a*x)^2),x) --R --R --R 2 --R - 2cos(a x) + 1 --R (1) ------------------ --R a cos(a x)sin(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 47 bb:=-(2*cot(2*a*x))/a --R --R 2cot(2a x) --R (2) - ---------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 48 cc:=aa-bb --R --R 2 --R 2cos(a x)cot(2a x)sin(a x) - 2cos(a x) + 1 --R (3) ------------------------------------------- --R a cos(a x)sin(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 49 cotrule:=rule(cot(a) == cos(a)/sin(a)) --R --R cos(a) --R (4) cot(a) == ------ --R sin(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 50 dd:=cotrule cc --R --R 2 --R (- 2cos(a x) + 1)sin(2a x) + 2cos(a x)cos(2a x)sin(a x) --R (5) -------------------------------------------------------- --R a cos(a x)sin(a x)sin(2a x) --R Type: Expression Integer --E --S 51 14:407 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.408~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin^2{ax}}{\cos{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\sin^2{ax}}{\cos{ax}}}= -\frac{\sin{ax}}{a}+\frac{1}{a}\ln~\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 52 aa:=integrate(sin(a*x)^2/cos(a*x),x) --R --R --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) - sin(a x) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ---------------------------------------------------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 53 bb:=-sin(a*x)/a+1/a*log(tan((a*x)/2+%pi/4)) --R --R 2a x + %pi --R log(tan(----------)) - sin(a x) --R 4 --R (2) ------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 54 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 55 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 56 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R + --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R - log(---------------) --R 2a x + %pi --R cos(----------) --R 4 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 57 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) --R + --R 2a x + %pi 2a x + %pi --R - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) --R 4 4 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 58 14:408 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.409~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos^2{ax}}{\sin{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\cos^2{ax}}{\sin{ax}}}= \frac{\cos{ax}}{a}+\frac{1}{a}\ln~\tan{\frac{ax}{2}} $$ <<*>>= )clear all --S 59 aa:=integrate(cos(a*x)^2/sin(a*x),x) --R --R --R sin(a x) --R log(------------) + cos(a x) --R cos(a x) + 1 --R (1) ---------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 60 bb:=cos(a*x)/a+1/a*log(tan((a*x)/2)) --R --R a x --R log(tan(---)) + cos(a x) --R 2 --R (2) ------------------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 61 cc:=aa-bb --R --R a x sin(a x) --R - log(tan(---)) + log(------------) --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 62 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 63 dd:=tanrule cc --R --R a x --R sin(---) --R sin(a x) 2 --R log(------------) - log(--------) --R cos(a x) + 1 a x --R cos(---) --R 2 --R (5) --------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 64 ee:=expandLog dd --R --R a x a x --R log(sin(a x)) - log(sin(---)) - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---)) --R 2 2 --R (6) ----------------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 65 14:409 Schaums and Axiom agree ff:=complexNormalize ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.410~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cos{ax}(1\pm\sin{ax})}}$} $$\int{\frac{1}{\cos{ax}(1\pm\sin{ax})}}= \mp\frac{1}{2a(1\pm\sin{ax})} +\frac{1}{2a}\ln~\tan\left(\frac{ax}{2}+\frac{\pi}{4}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 66 aa:=integrate(1/(cos(a*x)*(1+sin(a*x))),x) --R --R --R (1) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R (sin(a x) + 1)log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R (- sin(a x) - 1)log(-----------------------) + sin(a x) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a sin(a x) + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 67 bb:=-1/(2*a*(1+sin(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2+%pi/4)) --R --R 2a x + %pi --R (sin(a x) + 1)log(tan(----------)) - 1 --R 4 --R (2) -------------------------------------- --R 2a sin(a x) + 2a --R Type: Expression Integer --E --S 68 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) + 1 --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 69 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 70 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R + --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R - log(---------------) + 1 --R 2a x + %pi --R cos(----------) --R 4 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 71 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) --R + --R 2a x + %pi 2a x + %pi --R - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) + 1 --R 4 4 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 72 ff:=complexNormalize ee --R --R log(- 1) + 1 --R (7) ------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 73 aa:=integrate(1/(cos(a*x)*(1-sin(a*x))),x) --R --R --R (1) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 --R (sin(a x) - 1)log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R (- sin(a x) + 1)log(-----------------------) - sin(a x) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a sin(a x) - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 74 bb:=1/(2*a*(1-sin(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2+%pi/4)) --R --R 2a x + %pi --R (sin(a x) - 1)log(tan(----------)) - 1 --R 4 --R (2) -------------------------------------- --R 2a sin(a x) - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 75 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2a x + %pi sin(a x) + cos(a x) + 1 --R - log(tan(----------)) + log(-----------------------) --R 4 cos(a x) + 1 --R + --R sin(a x) - cos(a x) - 1 --R - log(-----------------------) - 1 --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 76 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 77 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R sin(a x) + cos(a x) + 1 sin(a x) - cos(a x) - 1 --R log(-----------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R + --R 2a x + %pi --R sin(----------) --R 4 --R - log(---------------) - 1 --R 2a x + %pi --R cos(----------) --R 4 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 78 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R log(sin(a x) + cos(a x) + 1) - log(sin(a x) - cos(a x) - 1) --R + --R 2a x + %pi 2a x + %pi --R - log(sin(----------)) + log(cos(----------)) - 1 --R 4 4 --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 79 14:410 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R log(- 1) - 1 --R (7) ------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.411~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin{ax}(1\pm\cos{ax})}}$} $$\int{\frac{1}{\sin{ax}(1\pm\cos{ax})}}= \pm\frac{1}{2a(1\pm\cos{ax})}+\frac{1}{2a}\ln~\tan\frac{ax}{2} $$ <<*>>= )clear all --S 80 aa:=integrate(1/(sin(a*x)*(1+cos(a*x))),x) --R --R --R sin(a x) --R (2cos(a x) + 2)log(------------) - cos(a x) + 1 --R cos(a x) + 1 --R (1) ----------------------------------------------- --R 4a cos(a x) + 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 81 bb:=1/(2*a*(1+cos(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2)) --R --R a x --R (cos(a x) + 1)log(tan(---)) + 1 --R 2 --R (2) ------------------------------- --R 2a cos(a x) + 2a --R Type: Expression Integer --E --S 82 cc:=aa-bb --R --R a x sin(a x) --R - 2log(tan(---)) + 2log(------------) - 1 --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 83 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 84 dd:=tanrule cc --R --R a x --R sin(---) --R sin(a x) 2 --R 2log(------------) - 2log(--------) - 1 --R cos(a x) + 1 a x --R cos(---) --R 2 --R (5) --------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 85 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R a x a x --R 2log(sin(a x)) - 2log(sin(---)) - 2log(cos(a x) + 1) + 2log(cos(---)) - 1 --R 2 2 --R ------------------------------------------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 86 ff:=complexNormalize ee --R --R 1 --R (7) - -- --R 4a --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 87 aa:=integrate(1/(sin(a*x)*(1-cos(a*x))),x) --R --R --R sin(a x) --R (2cos(a x) - 2)log(------------) + cos(a x) + 1 --R cos(a x) + 1 --R (1) ----------------------------------------------- --R 4a cos(a x) - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 88 bb:=-1/(2*a*(1-cos(a*x)))+1/(2*a)*log(tan((a*x)/2)) --R --R a x --R (cos(a x) - 1)log(tan(---)) + 1 --R 2 --R (2) ------------------------------- --R 2a cos(a x) - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 89 cc:=aa-bb --R --R a x sin(a x) --R - 2log(tan(---)) + 2log(------------) + 1 --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 90 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 91 dd:=tanrule cc --R --R a x --R sin(---) --R sin(a x) 2 --R 2log(------------) - 2log(--------) + 1 --R cos(a x) + 1 a x --R cos(---) --R 2 --R (5) --------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 92 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R a x a x --R 2log(sin(a x)) - 2log(sin(---)) - 2log(cos(a x) + 1) + 2log(cos(---)) + 1 --R 2 2 --R ------------------------------------------------------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 93 14:411 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R 1 --R (7) -- --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.412~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin{ax}\pm\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin{ax}\pm\cos{ax}}}= \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln~\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 94 aa:=integrate(1/(sin(a*x)+cos(a*x)),x) --R --R --R +-+ +-+ +-+ --R +-+ (- \|2 + 1)sin(a x) + (\|2 - 1)cos(a x) + \|2 - 2 --R \|2 log(----------------------------------------------------) --R sin(a x) + cos(a x) --R (1) ------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 95 bb:=1/(a*sqrt(2))*log(tan((a*x)/2+%pi/8)) --R --R +-+ 4a x + %pi --R \|2 log(tan(----------)) --R 8 --R (2) ------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 96 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-+ 4a x + %pi --R - \|2 log(tan(----------)) --R 8 --R + --R +-+ +-+ +-+ --R +-+ (- \|2 + 1)sin(a x) + (\|2 - 1)cos(a x) + \|2 - 2 --R \|2 log(----------------------------------------------------) --R sin(a x) + cos(a x) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 97 complexNormalize cc --R --R +-+ --R +-+ \|2 - 2 --R \|2 log(--------) --R +-+ --R \|2 --R (4) ----------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 98 aa:=integrate(1/(sin(a*x)-cos(a*x)),x) --R --R --R +-+ +-+ +-+ --R +-+ (- \|2 + 1)sin(a x) + (- \|2 + 1)cos(a x) - \|2 + 2 --R \|2 log(------------------------------------------------------) --R sin(a x) - cos(a x) --R (1) --------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 99 bb:=1/(a*sqrt(2))*log(tan((a*x)/2-%pi/8)) --R --R +-+ 4a x - %pi --R \|2 log(tan(----------)) --R 8 --R (2) ------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 100 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-+ 4a x - %pi --R - \|2 log(tan(----------)) --R 8 --R + --R +-+ +-+ +-+ --R +-+ (- \|2 + 1)sin(a x) + (- \|2 + 1)cos(a x) - \|2 + 2 --R \|2 log(------------------------------------------------------) --R sin(a x) - cos(a x) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 101 14:412 Schaums and Axiom differ by a constant complexNormalize cc --R --R +-+ +-+ --R \|2 log(\|2 - 1) --R (4) ----------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.413~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}~dx}{\sin{ax}\pm\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{\sin{ax}\pm\cos{ax}}}= \frac{x}{2}\mp\frac{1}{2a}\ln(\sin{ax}\pm\cos{ax}) $$ <<*>>= )clear all --S 102 aa:=integrate(sin(a*x)/(sin(a*x)+cos(a*x)),x) --R --R --R 2 - 2sin(a x) - 2cos(a x) --R log(------------) - log(-----------------------) + a x --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ------------------------------------------------------ --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 103 bb:=x/2-1/(2*a)*log(sin(a*x)+cos(a*x)) --R --R - log(sin(a x) + cos(a x)) + a x --R (2) -------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 104 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 - 2sin(a x) - 2cos(a x) --R log(sin(a x) + cos(a x)) + log(------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R --------------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 105 dd:=expandLog cc --R --R log(sin(a x) + cos(a x)) - log(- sin(a x) - cos(a x)) --R (4) ----------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 106 ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 107 aa:=integrate(sin(a*x)/(sin(a*x)-cos(a*x)),x) --R --R --R 2sin(a x) - 2cos(a x) 2 --R log(---------------------) - log(------------) + a x --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ---------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 108 bb:=x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)-cos(a*x)) --R --R log(sin(a x) - cos(a x)) + a x --R (2) ------------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 109 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2sin(a x) - 2cos(a x) 2 --R - log(sin(a x) - cos(a x)) + log(---------------------) - log(------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R --------------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 110 14:413 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.414~~~~~$\displaystyle \int{\frac{cos{ax}~dx}{\sin{ax}\pm{\cos{ax}}}}$} $$\int{\frac{cos{ax}}{\sin{ax}\pm{\cos{ax}}}}= \pm\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}\ln(sin{ax}\pm\cos{ax}) $$ <<*>>= )clear all --S 111 aa:=integrate(cos(a*x)/(sin(a*x)+cos(a*x)),x) --R --R --R 2 - 2sin(a x) - 2cos(a x) --R - log(------------) + log(-----------------------) + a x --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) -------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 112 bb:=x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)+cos(a*x)) --R --R log(sin(a x) + cos(a x)) + a x --R (2) ------------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 113 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 - 2sin(a x) - 2cos(a x) --R - log(sin(a x) + cos(a x)) - log(------------) + log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R ----------------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 114 dd:=expandLog cc --R --R - log(sin(a x) + cos(a x)) + log(- sin(a x) - cos(a x)) --R (4) ------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 115 ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) - -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 116 aa:=integrate(cos(a*x)/(sin(a*x)-cos(a*x)),x) --R --R --R 2sin(a x) - 2cos(a x) 2 --R log(---------------------) - log(------------) - a x --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ---------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 117 bb:=-x/2+1/(2*a)*log(sin(a*x)-cos(a*x)) --R --R log(sin(a x) - cos(a x)) - a x --R (2) ------------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 118 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2sin(a x) - 2cos(a x) 2 --R - log(sin(a x) - cos(a x)) + log(---------------------) - log(------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R --------------------------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 119 14:414 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.415~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}~dx}{p+q\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{p+q\cos{ax}}}= -\frac{1}{aq}\ln(p+q\cos{ax}) $$ <<*>>= )clear all --S 120 aa:=integrate(sin(a*x)/(p+q*cos(a*x)),x) --R --R --R 2 - 2q cos(a x) - 2p --R log(------------) - log(------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ------------------------------------------- --R a q --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 121 bb:=-1/(a*q)*log(p+q*cos(a*x)) --R --R log(q cos(a x) + p) --R (2) - ------------------- --R a q --R Type: Expression Integer --E --S 122 cc:=aa-bb --R --R 2 - 2q cos(a x) - 2p --R log(q cos(a x) + p) + log(------------) - log(------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------------------------------------- --R a q --R Type: Expression Integer --E --S 123 dd:=expandLog cc --R --R log(q cos(a x) + p) - log(- q cos(a x) - p) --R (4) ------------------------------------------- --R a q --R Type: Expression Integer --E --S 124 14:415 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R log(- 1) --R (5) -------- --R a q --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.416~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos{ax}~dx}{p+q\sin{ax}}}$} $$\int{\frac{\cos{ax}}{p+q\sin{ax}}}= \frac{1}{aq}\ln(p+q\sin{ax}) $$ <<*>>= )clear all --S 125 aa:=integrate(cos(a*x)/(p+q*sin(a*x)),x) --R --R --R 2q sin(a x) + 2p 2 --R log(----------------) - log(------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ----------------------------------------- --R a q --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 126 bb:=1/(a*q)*log(p+q*sin(a*x)) --R --R log(q sin(a x) + p) --R (2) ------------------- --R a q --R Type: Expression Integer --E --S 127 cc:=aa-bb --R --R 2q sin(a x) + 2p 2 --R - log(q sin(a x) + p) + log(----------------) - log(------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (3) ----------------------------------------------------------------- --R a q --R Type: Expression Integer --E --S 128 14:416 Schaums and Axiom agree dd:=expandLog cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.417~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin{ax}~dx}{(p+q\cos{ax})^n}}$} $$\int{\frac{\sin{ax}}{(p+q\cos{ax})^n}}= \frac{1}{aq(n-1)(p+q\cos{ax})^{n-1}} $$ <<*>>= )clear all --S 129 aa:=integrate(sin(a*x)/(p+q*cos(a*x))^n,x) --R --R --R q cos(a x) + p --R (1) ---------------------------------- --R n log(q cos(a x) + p) --R (a n - a)q %e --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 130 bb:=1/(a*q*(n-1)*(p+q*cos(a*x))^(n-1)) --R --R 1 --R (2) -------------------------------- --R n - 1 --R (a n - a)q (q cos(a x) + p) --R Type: Expression Integer --E --S 131 cc:=aa-bb --R --R n log(q cos(a x) + p) n - 1 --R - %e + (q cos(a x) + p)(q cos(a x) + p) --R (3) ----------------------------------------------------------------- --R n - 1 n log(q cos(a x) + p) --R (a n - a)q (q cos(a x) + p) %e --R Type: Expression Integer --E --S 132 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 133 dd:=explog cc --R --R n n - 1 --R - (q cos(a x) + p) + (q cos(a x) + p)(q cos(a x) + p) --R (5) ----------------------------------------------------------- --R n - 1 n --R (a n - a)q (q cos(a x) + p) (q cos(a x) + p) --R Type: Expression Integer --E --S 134 14:417 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.418~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos{ax}~dx}{(p+q\sin{ax})^n}}$} $$\int{\frac{\cos{ax}}{(p+q\sin{ax})^n}}= \frac{-1}{aq(n-1)(p+q\sin{ax})^{n-1}} $$ <<*>>= )clear all --S 135 aa:=integrate(cos(a*x)/(p+q*sin(a*x))^n,x) --R --R --R - q sin(a x) - p --R (1) ---------------------------------- --R n log(q sin(a x) + p) --R (a n - a)q %e --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 136 bb:=-1/(a*q*(n-1)*(p+q*sin(a*x))^(n-1)) --R --R 1 --R (2) - -------------------------------- --R n - 1 --R (a n - a)q (q sin(a x) + p) --R Type: Expression Integer --E --S 137 cc:=aa-bb --R --R n log(q sin(a x) + p) n - 1 --R %e + (- q sin(a x) - p)(q sin(a x) + p) --R (3) ----------------------------------------------------------------- --R n - 1 n log(q sin(a x) + p) --R (a n - a)q (q sin(a x) + p) %e --R Type: Expression Integer --E --S 138 explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n) --R --R n log(x) n --R (4) %e == x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 139 dd:=explog cc --R --R n n - 1 --R (q sin(a x) + p) + (- q sin(a x) - p)(q sin(a x) + p) --R (5) ----------------------------------------------------------- --R n - 1 n --R (a n - a)q (q sin(a x) + p) (q sin(a x) + p) --R Type: Expression Integer --E --S 140 14:418 Schaums and Axiom agree ee:=complexNormalize dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.419~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p\sin{ax}+q\cos{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p\sin{ax}+q\cos{ax}}}= \frac{1}{a\sqrt{p^2+q^2}}\ln~\tan\left(\frac{ax+\tan^{-1}(q/p)}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 141 aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)),x) --R --R --R (1) --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) - p cos(a x) - q - p )\|q + p --R + --R 3 2 2 3 2 3 --R (- q - p q)sin(a x) + (p q + p )cos(a x) + p q + p --R / --R p sin(a x) + q cos(a x) --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 142 bb:=1/(a*sqrt(p^2+q^2))*log(tan((a*x+atan(q/p))/2)) --R --R q --R atan(-) + a x --R p --R log(tan(-------------)) --R 2 --R (2) ----------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 143 cc:=aa-bb --R --R (3) --R q --R atan(-) + a x --R p --R - log(tan(-------------)) --R 2 --R + --R log --R +-------+ --R 2 2 2 | 2 2 --R (p q sin(a x) - p cos(a x) - q - p )\|q + p --R + --R 3 2 2 3 2 3 --R (- q - p q)sin(a x) + (p q + p )cos(a x) + p q + p --R / --R p sin(a x) + q cos(a x) --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 144 dd:=normalize cc --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R - 2p\|q + p + q + 2p --R log(------------------------------------------) --R +-------+ --R 2 3 | 2 2 4 2 2 4 --R (3p q + 4p )\|q + p - q - 5p q - 4p --R (4) - ----------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 145 14:419 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=ratDenom dd --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 2 2 --R | 2 2 - p\|q + p - q - p --R \|q + p log(-----------------------) --R 4 2 2 --R q + p q --R (5) - -------------------------------------- --R 2 2 --R a q + a p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.420~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p\sin{ax}+q\cos{ax}+r}}$} $$\int{\frac{1}{p\sin{ax}+q\cos{ax}+r}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{2}{a\sqrt{r^2-p^2-q^q}} \tan^{-1}\left(\frac{p+(r-q)\tan(ax/2)}{\sqrt{r^2-p^2-a^2}}\right)\\ \\ \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{p^2+q^2-r^2}}\ln\left( \frac{p-\sqrt{p^2+q^2-r^2}+(r-q)\tan{(ax/2)}} {p+\sqrt{p^2+q^2-r^2}+(r-q)\tan{(ax/2)}}\right) \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 146 aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)+r),x) --R --R --R (1) --R [ --R log --R 2 2 2 --R (p r - p q)sin(a x) + (- r + q r + p )cos(a x) - q r + q --R + --R 2 --R p --R * --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R \|- r + q + p --R + --R 3 2 2 2 3 2 --R (r - q r + (- q - p )r + q + p q)sin(a x) --R + --R 2 2 3 2 2 3 --R (p r - p q - p )cos(a x) + p r - p q - p --R / --R p sin(a x) + q cos(a x) + r --R / --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R a\|- r + q + p --R , --R +------------+ --R | 2 2 2 --R ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r - q - p --R 2atan(-------------------------------------------------) --R 2 2 2 2 2 2 --R (r - q - p )cos(a x) + r - q - p --R --------------------------------------------------------] --R +------------+ --R | 2 2 2 --R a\|r - q - p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 147 bb1:=2/(a*sqrt(r^2-p^2-q^2))*atan((p+(r-q)*tan((a*x)/2))/sqrt(r^2-p^2-q^2)) --R --R a x --R (r - q)tan(---) + p --R 2 --R 2atan(-------------------) --R +------------+ --R | 2 2 2 --R \|r - q - p --R (2) -------------------------- --R +------------+ --R | 2 2 2 --R a\|r - q - p --R Type: Expression Integer --E --S 148 bb2:=1/(a*sqrt(p^2+q^2-r^2))*log((p-sqrt(p^2+q^2-r^2)+(r-q)*tan((a*x)/2))/(p+sqrt(p^2+q^2-r^2)+(r-q)*tan((a*x)/2))) --R --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R - \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R 2 --R log(-----------------------------------------) --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R 2 --R (3) ---------------------------------------------- --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R a\|- r + q + p --R Type: Expression Integer --E --S 149 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (4) --R +------------+ --R | 2 2 2 --R \|r - q - p --R * --R log --R 2 2 2 --R (p r - p q)sin(a x) + (- r + q r + p )cos(a x) - q r + q --R + --R 2 --R p --R * --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R \|- r + q + p --R + --R 3 2 2 2 3 2 --R (r - q r + (- q - p )r + q + p q)sin(a x) --R + --R 2 2 3 2 2 3 --R (p r - p q - p )cos(a x) + p r - p q - p --R / --R p sin(a x) + q cos(a x) + r --R + --R a x --R +--------------+ (r - q)tan(---) + p --R | 2 2 2 2 --R - 2\|- r + q + p atan(-------------------) --R +------------+ --R | 2 2 2 --R \|r - q - p --R / --R +--------------+ +------------+ --R | 2 2 2 | 2 2 2 --R a\|- r + q + p \|r - q - p --R Type: Expression Integer --E --S 150 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (5) --R +------------+ --R | 2 2 2 --R ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r - q - p --R 2atan(-------------------------------------------------) --R 2 2 2 2 2 2 --R (r - q - p )cos(a x) + r - q - p --R + --R a x --R (r - q)tan(---) + p --R 2 --R - 2atan(-------------------) --R +------------+ --R | 2 2 2 --R \|r - q - p --R / --R +------------+ --R | 2 2 2 --R a\|r - q - p --R Type: Expression Integer --E --S 151 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (6) --R log --R 2 2 2 --R (p r - p q)sin(a x) + (- r + q r + p )cos(a x) - q r + q --R + --R 2 --R p --R * --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R \|- r + q + p --R + --R 3 2 2 2 3 2 --R (r - q r + (- q - p )r + q + p q)sin(a x) --R + --R 2 2 3 2 2 3 --R (p r - p q - p )cos(a x) + p r - p q - p --R / --R p sin(a x) + q cos(a x) + r --R + --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R - \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R 2 --R - log(-----------------------------------------) --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R 2 --R / --R +--------------+ --R | 2 2 2 --R a\|- r + q + p --R Type: Expression Integer --E --S 152 cc4:=aa.2-bb2 --R --R (7) --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R +------------+ - \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R | 2 2 2 2 --R - \|r - q - p log(-----------------------------------------) --R +--------------+ --R | 2 2 2 a x --R \|- r + q + p + (r - q)tan(---) + p --R 2 --R + --R +------------+ --R +--------------+ | 2 2 2 --R | 2 2 2 ((r - q)sin(a x) + p cos(a x) + p)\|r - q - p --R 2\|- r + q + p atan(-------------------------------------------------) --R 2 2 2 2 2 2 --R (r - q - p )cos(a x) + r - q - p --R / --R +--------------+ +------------+ --R | 2 2 2 | 2 2 2 --R a\|- r + q + p \|r - q - p --R Type: Expression Integer --E --S 153 14:420 Schaums and Axiom agree dd2:=normalize cc2 --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.421~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p\sin{ax}+q(1+\cos{ax})}}$} $$\int{\frac{1}{p\sin{ax}+q(1+\cos{ax})}}= \frac{1}{ap}\ln\left(q+p\tan{\frac{ax}{2}}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 154 aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*(1+cos(a*x))),x) --R --R --R p sin(a x) + q cos(a x) + q --R log(---------------------------) --R cos(a x) + 1 --R (1) -------------------------------- --R a p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 155 bb:=1/(a*p)*log(q+p*tan((a*x)/2)) --R --R a x --R log(p tan(---) + q) --R 2 --R (2) ------------------- --R a p --R Type: Expression Integer --E --S 156 cc:=aa-bb --R --R a x p sin(a x) + q cos(a x) + q --R - log(p tan(---) + q) + log(---------------------------) --R 2 cos(a x) + 1 --R (3) -------------------------------------------------------- --R a p --R Type: Expression Integer --E --S 157 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 158 dd:=tanrule cc --R --R a x a x --R p sin(---) + q cos(---) --R p sin(a x) + q cos(a x) + q 2 2 --R log(---------------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 a x --R cos(---) --R 2 --R (5) --------------------------------------------------------------- --R a p --R Type: Expression Integer --E --S 159 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R a x a x --R log(p sin(a x) + q cos(a x) + q) - log(p sin(---) + q cos(---)) --R 2 2 --R + --R a x --R - log(cos(a x) + 1) + log(cos(---)) --R 2 --R / --R a p --R Type: Expression Integer --E --S 160 14:421 Schaums and Axiom agree ff:=complexNormalize ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.422~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p\sin{ax}+q\cos{ax}\pm\sqrt{p^2+q^2}}}$} $$\int{\frac{1}{p\sin{ax}+q\cos{ax}\pm\sqrt{p^2+q^2}}}= \frac{-1}{a\sqrt{p^2+q^2}} \tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax+\tan^{-1}{(q/p)}}{2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 161 aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)+sqrt(p^2+q^2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 5 2 3 4 5 2 3 4 | 2 2 --R ((64q + 64p q + 12p q)cos(a x) + 64q + 64p q + 12p q)\|q + p --R + --R 6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 --R (- 64q - 96p q - 36p q - 2p )cos(a x) - 64q - 96p q - 36p q - 2p --R / --R 6 2 4 4 2 6 --R (64a q + 80a p q + 24a p q + a p )sin(a x) --R + --R 5 3 3 5 5 3 3 5 --R (- 32a p q - 32a p q - 6a p q)cos(a x) - 32a p q - 32a p q - 6a p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 --R (- 64a q - 112a p q - 56a p q - 7a p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 3 4 --R (32a p q + 48a p q + 18a p q + a p )cos(a x) + 32a p q + 48a p q --R + --R 5 2 7 --R 18a p q + a p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 162 bb:=-1/(a*sqrt(p^2+q^2))*tan(%pi/4-(a*x+atan(q/p))/2) --R --R q --R 2atan(-) + 2a x - %pi --R p --R tan(---------------------) --R 4 --R (2) -------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 163 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 6 2 4 4 2 6 --R (64q + 80p q + 24p q + p )sin(a x) --R + --R 5 3 3 5 5 3 3 5 --R (- 32p q - 32p q - 6p q)cos(a x) - 32p q - 32p q - 6p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 --R (- 64q - 112p q - 56p q - 7p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 3 4 5 2 7 --R (32p q + 48p q + 18p q + p )cos(a x) + 32p q + 48p q + 18p q + p --R * --R q --R 2atan(-) + 2a x - %pi --R p --R tan(---------------------) --R 4 --R + --R 6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 --R ((64q + 96p q + 36p q + 2p )cos(a x) + 64q + 96p q + 36p q + 2p ) --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 7 2 5 4 3 --R (- 64q - 128p q - 76p q - 12p q)cos(a x) - 64q - 128p q - 76p q --R + --R 6 --R - 12p q --R / --R 7 2 5 4 3 6 --R (64a q + 112a p q + 56a p q + 7a p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 --R (- 32a p q - 48a p q - 18a p q - a p )cos(a x) - 32a p q --R + --R 3 4 5 2 7 --R - 48a p q - 18a p q - a p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 8 2 6 4 4 6 2 8 --R (- 64a q - 144a p q - 104a p q - 25a p q - a p )sin(a x) --R + --R 7 3 5 5 3 7 7 3 5 --R (32a p q + 64a p q + 38a p q + 6a p q)cos(a x) + 32a p q + 64a p q --R + --R 5 3 7 --R 38a p q + 6a p q --R Type: Expression Integer --E --S 164 dd:=normalize cc --R --R (4) --R +-------+ --R 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 | 2 2 --R (- 32p q - 16p q - 48p q - 20p q - 18p q - 5p q - p )\|q + p --R + --R 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 --R 32p q + 16p q + 64p q + 28p q + 38p q + 13p q + 6p q + p --R / --R 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 --R 64a q + 32a p q + 144a p q + 64a p q + 104a p q + 38a p q --R + --R 6 2 7 8 --R 25a p q + 6a p q + a p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 --R - 64a q - 32a p q - 176a p q - 80a p q - 168a p q - 66a p q --R + --R 6 3 7 2 8 9 --R - 63a p q - 19a p q - 7a p q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 165 ee:=ratDenom dd --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R - q\|q + p - q - p --R (5) ----------------------- --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Integer --E )clear all --S 166 aa:=integrate(1/(p*sin(a*x)+q*cos(a*x)-sqrt(p^2+q^2)),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R 5 2 3 4 5 2 3 4 | 2 2 --R ((64q + 64p q + 12p q)cos(a x) + 64q + 64p q + 12p q)\|q + p --R + --R 6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 --R (64q + 96p q + 36p q + 2p )cos(a x) + 64q + 96p q + 36p q + 2p --R / --R 6 2 4 4 2 6 --R (64a q + 80a p q + 24a p q + a p )sin(a x) --R + --R 5 3 3 5 5 3 3 5 --R (- 32a p q - 32a p q - 6a p q)cos(a x) - 32a p q - 32a p q - 6a p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 --R (64a q + 112a p q + 56a p q + 7a p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 3 4 --R (- 32a p q - 48a p q - 18a p q - a p )cos(a x) - 32a p q - 48a p q --R + --R 5 2 7 --R - 18a p q - a p --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 167 bb:=-1/(a*sqrt(p^2+q^2))*tan(%pi/4+(a*x+atan(q/p))/2) --R --R q --R 2atan(-) + 2a x + %pi --R p --R tan(---------------------) --R 4 --R (2) - -------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q + p --R Type: Expression Integer --E --S 168 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 6 2 4 4 2 6 --R (64q + 80p q + 24p q + p )sin(a x) --R + --R 5 3 3 5 5 3 3 5 --R (- 32p q - 32p q - 6p q)cos(a x) - 32p q - 32p q - 6p q --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 --R (64q + 112p q + 56p q + 7p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 3 4 5 2 --R (- 32p q - 48p q - 18p q - p )cos(a x) - 32p q - 48p q - 18p q --R + --R 7 --R - p --R * --R q --R 2atan(-) + 2a x + %pi --R p --R tan(---------------------) --R 4 --R + --R 6 2 4 4 2 6 6 2 4 4 2 6 --R ((64q + 96p q + 36p q + 2p )cos(a x) + 64q + 96p q + 36p q + 2p ) --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 7 2 5 4 3 6 7 2 5 4 3 6 --R (64q + 128p q + 76p q + 12p q)cos(a x) + 64q + 128p q + 76p q + 12p q --R / --R 7 2 5 4 3 6 --R (64a q + 112a p q + 56a p q + 7a p q)sin(a x) --R + --R 6 3 4 5 2 7 6 --R (- 32a p q - 48a p q - 18a p q - a p )cos(a x) - 32a p q --R + --R 3 4 5 2 7 --R - 48a p q - 18a p q - a p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 8 2 6 4 4 6 2 8 --R (64a q + 144a p q + 104a p q + 25a p q + a p )sin(a x) --R + --R 7 3 5 5 3 7 7 3 5 --R (- 32a p q - 64a p q - 38a p q - 6a p q)cos(a x) - 32a p q - 64a p q --R + --R 5 3 7 --R - 38a p q - 6a p q --R Type: Expression Integer --E --S 169 dd:=normalize cc --R --R (4) --R +-------+ --R 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 | 2 2 --R (- 32p q + 16p q - 48p q + 20p q - 18p q + 5p q - p )\|q + p --R + --R 7 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 8 --R - 32p q + 16p q - 64p q + 28p q - 38p q + 13p q - 6p q + p --R / --R 8 7 2 6 3 5 4 4 5 3 --R 64a q - 32a p q + 144a p q - 64a p q + 104a p q - 38a p q --R + --R 6 2 7 8 --R 25a p q - 6a p q + a p --R * --R +-------+ --R | 2 2 --R \|q + p --R + --R 9 8 2 7 3 6 4 5 5 4 --R 64a q - 32a p q + 176a p q - 80a p q + 168a p q - 66a p q --R + --R 6 3 7 2 8 9 --R 63a p q - 19a p q + 7a p q - a p --R Type: Expression Integer --E --S 170 14:422 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=ratDenom dd --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R q\|q + p - q - p --R (5) --------------------- --R 2 3 --R a p q + a p --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.423~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2\sin^2{ax}+q^2\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2\sin^2{ax}+q^2\cos^2{ax}}}= \frac{1}{apq}\tan^{-1}\left(\frac{p\tan{ax}}{q}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 171 aa:=integrate(1/(p^2*sin(a*x)^2+q^2*cos(a*x)^2),x) --R --R --R 2 2 2 --R ((q - 2p )cos(a x) - 2p )sin(a x) q sin(a x) --R - atan(-----------------------------------) + atan(----------------) --R 2 2p cos(a x) + 2p --R p q cos(a x) + 2p q cos(a x) + p q --R (1) -------------------------------------------------------------------- --R a p q --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 172 bb:=1/(a*p*q)*atan((p*tan(a*x))/q) --R --R p tan(a x) --R atan(----------) --R q --R (2) ---------------- --R a p q --R Type: Expression Integer --E --S 173 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 2 --R p tan(a x) ((q - 2p )cos(a x) - 2p )sin(a x) --R - atan(----------) - atan(-----------------------------------) --R q 2 --R p q cos(a x) + 2p q cos(a x) + p q --R + --R q sin(a x) --R atan(----------------) --R 2p cos(a x) + 2p --R / --R a p q --R Type: Expression Integer --E --S 174 14:423 Schaums and Axiom agree dd:=normalize cc --R --R (4) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.424~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{p^2\sin^2{ax}-q^2\cos^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{p^2\sin^2{ax}-q^2\cos^2{ax}}}= \frac{1}{2apq}\ln\left(\frac{p\tan{ax}-q}{p\tan{ax}+q}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 175 aa:=integrate(1/(p^2*sin(a*x)^2-q^2*cos(a*x)^2),x) --R --R --R 2p sin(a x) - 2q cos(a x) - 2p sin(a x) - 2q cos(a x) --R log(-------------------------) - log(---------------------------) --R cos(a x) + 1 cos(a x) + 1 --R (1) ----------------------------------------------------------------- --R 2a p q --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 176 bb:=1/(2*a*p*q)*log((p*tan(a*x)-q)/(p*tan(a*x)+q)) --R --R p tan(a x) - q --R log(--------------) --R p tan(a x) + q --R (2) ------------------- --R 2a p q --R Type: Expression Integer --E --S 177 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2p sin(a x) - 2q cos(a x) p tan(a x) - q --R log(-------------------------) - log(--------------) --R cos(a x) + 1 p tan(a x) + q --R + --R - 2p sin(a x) - 2q cos(a x) --R - log(---------------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a p q --R Type: Expression Integer --E --S 178 tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a)) --R --R sin(a) --R (4) tan(a) == ------ --R cos(a) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 179 dd:=tanrule cc --R --R (5) --R 2p sin(a x) - 2q cos(a x) p sin(a x) - q cos(a x) --R log(-------------------------) - log(-----------------------) --R cos(a x) + 1 p sin(a x) + q cos(a x) --R + --R - 2p sin(a x) - 2q cos(a x) --R - log(---------------------------) --R cos(a x) + 1 --R / --R 2a p q --R Type: Expression Integer --E --S 180 ee:=expandLog dd --R --R log(p sin(a x) + q cos(a x)) - log(- p sin(a x) - q cos(a x)) --R (6) ------------------------------------------------------------- --R 2a p q --R Type: Expression Integer --E --S 181 14:424 Schaums and Axiom differ by a constant ff:=complexNormalize ee --R --R log(- 1) --R (7) -------- --R 2a p q --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.425~~~~~$\displaystyle \int{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}~dx$} $$\int{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{\sin^{m-1}{ax}\cos^{n+1}ax}{a(m+n)} +\frac{m-1}{m+n}\int{\sin^{m-2}{ax}\cos^n{ax}}\\ \\ \displaystyle \frac{\sin^{m+1}{ax}\cos^{n-1}{ax}}{a(m+n)} +\frac{n-1}{m+n}\int{\sin^m{ax}\cos^{n-2}{ax}} \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 182 14:425 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sin(a*x)^m*cos(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ n m --I (1) | cos(%H a) sin(%H a) d%H --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.426~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\sin^m{ax}}{\cos^n{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\sin^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}} -\frac{m-1}{n-1}\int{\frac{\sin^{m-2}{ax}}{\cos^{n-2}{ax}}}\\ \\ \displaystyle \frac{\sin^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos^{n-1}{ax}} -\frac{m-n+2}{n-1}\int{\frac{\sin^m{ax}}{\cos^{n-2}{ax}}}\\ \\ \displaystyle \frac{-\sin^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos^{n-1}{ax}} +\frac{m-1}{m-n}\int{\frac{\sin^{m-2}{ax}}{\cos^n{ax}}} \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 183 14:426 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sin(a*x)^m/cos(a*x)^n,x) --R --R --R x m --I ++ sin(%H a) --I (1) | ---------- d%H --R ++ n --I cos(%H a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.427~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\cos^m{ax}}{\sin^n{ax}}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{-\cos^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}} -\frac{m-1}{n-1}\int{\frac{\cos^{m-2}{ax}}{\sin^{n-2}{ax}}}\\ \\ \displaystyle \frac{-\cos^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin^{n-1}{ax}} -\frac{m-n+2}{n-1}\int{\frac{\cos^m{ax}}{\sin^{n-2}{ax}}}\\ \\ \displaystyle \frac{\cos^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin^{n-1}{ax}} +\frac{m-1}{m-n}\int{\frac{\cos^{m-2}{ax}}{\sin^n{ax}}} \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 184 14:427 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(cos(a*x)^m/sin(a*x)^n,x) --R --R --R x m --I ++ cos(%H a) --I (1) | ---------- d%H --R ++ n --I sin(%H a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.428~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sin^m{ax}\cos^n{ax}}} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{a(n-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}} +\frac{m+n-2}{n-1}\int{\frac{1}{\sin^m{ax}\cos^{n-2}{ax}}}\\ \\ \displaystyle \frac{-1}{a(m-1)\sin^{m-1}{ax}\cos^{n-1}{ax}} +\frac{m+n-2}{m-1}\int{\frac{1}{\sin^{m-2}{ax}\cos^n{ax}}} \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 185 14:428 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(1/(sin(a*x)^m*cos(a*x)^n),x) --R --R --R x --R ++ 1 --I (1) | -------------------- d%H --R ++ n m --I cos(%H a) sin(%H a) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp78-80 \end{thebibliography} \end{document}