\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum20.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.429~~~~~$\displaystyle
\int{\tan{ax}}~dx$}
$$\int{\tan{ax}}=
-\frac{1}{a}\ln~\cos{ax}=
\frac{1}{a}\ln~\sec{ax}
$$
<<*>>=
)spool schaum20.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(tan(a*x),x)
--R 
--R
--R                    2
--R        log(tan(a x)  + 1)
--R   (1)  ------------------
--R                2a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb1:=-1/a*log(cos(a*x))
--R
--R          log(cos(a x))
--R   (2)  - -------------
--R                a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3
bb2:=1/a*log(sec(a*x))
--R
--R        log(sec(a x))
--R   (3)  -------------
--R              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 4
cc1:=aa-bb1
--R
--R                    2
--R        log(tan(a x)  + 1) + 2log(cos(a x))
--R   (4)  -----------------------------------
--R                         2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 5
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (5)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 6
dd1:=tanrule cc1
--R
--R                    2           2
--R            sin(a x)  + cos(a x)
--R        log(---------------------) + 2log(cos(a x))
--R                          2
--R                  cos(a x)
--R   (6)  -------------------------------------------
--R                             2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 7
ee1:=expandLog dd1
--R
--R                    2           2
--R        log(sin(a x)  + cos(a x) )
--R   (7)  --------------------------
--R                    2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 8
sincossqrrule:=rule(sin(a)^2+cos(a)^2 == 1)
--R
--R              2         2
--I   (8)  sin(a)  + cos(a)  + %K == %K + 1
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 9      14:429 Schaums and Axiom agree
ff1:=sincossqrrule ee1
--R
--R   (9)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.430~~~~~$\displaystyle
\int{\tan^2{ax}}~dx$}
$$\int{\tan^2{ax}}=
\frac{\tan{ax}}{x}-x
$$
<<*>>=
)clear all

--S 10
aa:=integrate(tan(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R        tan(a x) - a x
--R   (1)  --------------
--R               a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 11
bb:=tan(a*x)/a-x
--R
--R        tan(a x) - a x
--R   (2)  --------------
--R               a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 12     14:430 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.431~~~~~$\displaystyle
\int{\tan^3{ax}}~dx$}
$$\int{\tan^3{ax}}=
\frac{\tan^2{ax}}{2a}+\frac{1}{a}\ln~\cos{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 13
aa:=integrate(tan(a*x)^3,x)
--R 
--R
--R                      2                2
--R        - log(tan(a x)  + 1) + tan(a x)
--R   (1)  --------------------------------
--R                       2a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 14
bb:=tan(a*x)^2/(2*a)+1/a*log(cos(a*x))
--R
--R                                 2
--R        2log(cos(a x)) + tan(a x)
--R   (2)  --------------------------
--R                    2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 15
cc:=aa-bb
--R
--R                      2
--R        - log(tan(a x)  + 1) - 2log(cos(a x))
--R   (3)  -------------------------------------
--R                          2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 16
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 17
dd:=tanrule cc
--R
--R                      2           2
--R              sin(a x)  + cos(a x)
--R        - log(---------------------) - 2log(cos(a x))
--R                            2
--R                    cos(a x)
--R   (5)  ---------------------------------------------
--R                              2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18
ee:=expandLog dd
--R
--R                      2           2
--R          log(sin(a x)  + cos(a x) )
--R   (6)  - --------------------------
--R                      2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 19
sincossqrrule:=rule(sin(a)^2+cos(a)^2 == 1)
--R
--R              2         2
--I   (7)  sin(a)  + cos(a)  + %L == %L + 1
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 20     14:431 Schaums and Axiom agree
ff:=sincossqrrule ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.432~~~~~$\displaystyle
\int{\tan^n{ax}\sec^2{ax}}~dx$}
$$\int{\tan^n{ax}\sec^2{ax}}=
\frac{\tan^{n+1}{ax}}{(n+1)a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 21
aa:=integrate(tan(a*x)^n*sec(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R                        sin(a x)
--R                  n log(--------)
--R                        cos(a x)
--R        sin(a x)%e
--R   (1)  -------------------------
--R            (a n + a)cos(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 22
bb:=tan(a*x)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                n + 1
--R        tan(a x)
--R   (2)  -------------
--R           a n + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 23
cc:=aa-bb
--R
--R                        sin(a x)
--R                  n log(--------)
--R                        cos(a x)                    n + 1
--R        sin(a x)%e                - cos(a x)tan(a x)
--R   (3)  -------------------------------------------------
--R                        (a n + a)cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 24
explog:=rule(%e^(n*log(x)) == x^n)
--R
--R          n log(x)     n
--R   (4)  %e         == x
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 25
dd:=explog cc
--R
--R                          n + 1            sin(a x) n
--R        - cos(a x)tan(a x)      + sin(a x)(--------)
--R                                           cos(a x)
--R   (5)  ---------------------------------------------
--R                      (a n + a)cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 26
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (6)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 27
ee:=tanrule dd
--R
--R                   sin(a x) n + 1            sin(a x) n
--R        - cos(a x)(--------)      + sin(a x)(--------)
--R                   cos(a x)                  cos(a x)
--R   (7)  -----------------------------------------------
--R                       (a n + a)cos(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 28     14:432 Schaums and Axiom agree
ff:=complexNormalize ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.433~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{\sec^2{ax}}{\tan{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{\sec^2{ax}}{\tan{ax}}}=
\frac{1}{a}\ln~\tan{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 29
aa:=integrate(sec(a*x)^2/tan(a*x),x)
--R 
--R
--R              sin(a x)              2cos(a x)
--R        log(------------) - log(- ------------)
--R            cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (1)  ---------------------------------------
--R                           a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 30
bb:=1/a*log(tan(a*x))
--R
--R        log(tan(a x))
--R   (2)  -------------
--R              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 31
cc:=aa-bb
--R
--R                                sin(a x)              2cos(a x)
--R        - log(tan(a x)) + log(------------) - log(- ------------)
--R                              cos(a x) + 1          cos(a x) + 1
--R   (3)  ---------------------------------------------------------
--R                                    a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 32
dd:=expandLog cc
--R
--R        - log(tan(a x)) + log(sin(a x)) - log(cos(a x)) - log(- 2)
--R   (4)  ----------------------------------------------------------
--R                                     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 33     14:433 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R          log(- 2)
--R   (5)  - --------
--R              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.434~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{\tan{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{\tan{ax}}}=
\frac{1}{a}\ln~\sin{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 34
aa:=integrate(1/tan(a*x),x)
--R 
--R
--R                      2
--R        - log(tan(a x)  + 1) + 2log(tan(a x))
--R   (1)  -------------------------------------
--R                          2a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 35
bb:=1/a*log(sin(a*x))
--R
--R        log(sin(a x))
--R   (2)  -------------
--R              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 36
cc:=aa-bb
--R
--R                      2
--R        - log(tan(a x)  + 1) + 2log(tan(a x)) - 2log(sin(a x))
--R   (3)  ------------------------------------------------------
--R                                  2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 37
complexNormalize cc
--R
--R   (4)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.435~~~~~$\displaystyle
\int{x\tan{ax}}~dx$}
$$\int{x\tan{ax}}=
\frac{1}{a^2}\left\{\frac{(ax)^3}{3}+\frac{(ax)^5}{15}+\frac{2(ax)^7}{105}
+\cdots+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right\}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 38     14:435 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*tan(a*x),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %I tan(%I a)d%I
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.436~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{\tan{ax}}{x}}~dx$}
$$\int{\frac{\tan{ax}}{x}}=
ax+\frac{(ax)^3}{9}+\frac{2(ax)^5}{75}+\cdots
+\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdots
$$
<<*>>=
)clear all

--S 39     14:436 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(tan(a*x)/x,x)
--R 
--R
--R           x
--I         ++  tan(%I a)
--I   (1)   |   --------- d%I
--I        ++       %I
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.437~~~~~$\displaystyle
\int{x\tan^2{ax}}~dx$}
$$\int{x\tan^2{ax}}=
\frac{x\tan{ax}}{a}+\frac{1}{a^2}\ln~\cos{ax}-\frac{x^2}{2}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 40
aa:=integrate(x*tan(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R                      2                         2 2
--R        - log(tan(a x)  + 1) + 2a x tan(a x) - a x
--R   (1)  -------------------------------------------
--R                              2
--R                            2a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

--S 41
bb:=(x*tan(a*x))/a+1/a^2*log(cos(a*x))-x^2/2
--R
--R                                          2 2
--R        2log(cos(a x)) + 2a x tan(a x) - a x
--R   (2)  -------------------------------------
--R                           2
--R                         2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 42
cc:=aa-bb
--R
--R                      2
--R        - log(tan(a x)  + 1) - 2log(cos(a x))
--R   (3)  -------------------------------------
--R                           2
--R                         2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 43
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 44
dd:=tanrule cc
--R
--R                      2           2
--R              sin(a x)  + cos(a x)
--R        - log(---------------------) - 2log(cos(a x))
--R                            2
--R                    cos(a x)
--R   (5)  ---------------------------------------------
--R                               2
--R                             2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 45
ee:=expandLog dd
--R
--R                      2           2
--R          log(sin(a x)  + cos(a x) )
--R   (6)  - --------------------------
--R                        2
--R                      2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 46
sincossqrrule:=rule(sin(a)^2+cos(a)^2 == 1)
--R
--R              2         2
--I   (7)  sin(a)  + cos(a)  + %R == %R + 1
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 47     14:437 Schaums and Axiom agree
ff:=sincossqrrule ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.438~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{p+q\tan{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{p+q\tan{ax}}}=
\frac{px}{p^2+q^2}+\frac{q}{a(p^2+q^2)}\ln(q\sin{ax}+p\cos{ax})
$$
<<*>>=
)clear all

--S 48
aa:=integrate(1/(p+q*tan(a*x)),x)
--R 
--R
--R                        2
--R        - q log(tan(a x)  + 1) + 2q log(q tan(a x) + p) + 2a p x
--R   (1)  --------------------------------------------------------
--R                                  2       2
--R                              2a q  + 2a p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 49
bb:=(p*x)/(p^2+q^2)+q/(a*(p^2+q^2))*log(q*sin(a*x)+p*cos(a*x))
--R
--R        q log(q sin(a x) + p cos(a x)) + a p x
--R   (2)  --------------------------------------
--R                         2      2
--R                      a q  + a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 50
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                       2
--R       - q log(tan(a x)  + 1) + 2q log(q tan(a x) + p)
--R     + 
--R       - 2q log(q sin(a x) + p cos(a x))
--R  /
--R         2       2
--R     2a q  + 2a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 51
tanrule:=rule(tan(a) == sin(a)/cos(a))
--R
--R                  sin(a)
--R   (4)  tan(a) == ------
--R                  cos(a)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 52
dd:=tanrule cc
--R
--R   (5)
--R                       2           2
--R               sin(a x)  + cos(a x)
--R       - q log(---------------------) - 2q log(q sin(a x) + p cos(a x))
--R                             2
--R                     cos(a x)
--R     + 
--R              q sin(a x) + p cos(a x)
--R       2q log(-----------------------)
--R                      cos(a x)
--R  /
--R         2       2
--R     2a q  + 2a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 53
ee:=expandLog dd
--R
--R                        2           2
--R          q log(sin(a x)  + cos(a x) )
--R   (6)  - ----------------------------
--R                      2       2
--R                  2a q  + 2a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 54
sincossqrrule:=rule(sin(a)^2+cos(a)^2 == 1)
--R
--R              2         2
--I   (7)  sin(a)  + cos(a)  + %S == %S + 1
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 55     14:438 Schaums and Axiom agree
ff:=sincossqrrule ee
--R
--R   (8)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.439~~~~~$\displaystyle
\int{\tan^n{ax}}~dx$}
$$\int{\tan^n{ax}}=
\frac{\tan^{n-1}{ax}}{(n-1)a}-\int{\tan^{n-2}{ax}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 56     14:439 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(tan(a*x)^n,x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++           n
--I   (1)   |   tan(%I a) d%I
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p80
\end{thebibliography}
\end{document}