\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum29.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.590~~~~~$\displaystyle \int{\sinh{ax}\cosh{ax}}~dx$} $$\int{\sinh{ax}\cosh{ax}}= \frac{\sinh^2{ax}}{2a} $$ <<*>>= )spool schaum29.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(sinh(a*x)*cosh(a*x),x) --R --R --R 2 2 --R sinh(a x) + cosh(a x) --R (1) ----------------------- --R 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=sinh(a*x)^2/(2*a) --R --R 2 --R sinh(a x) --R (2) ---------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R - sinh(a x) + cosh(a x) --R (3) ------------------------- --R 4a --R Type: Expression Integer --E --S 4 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (4) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 5 dd:=sinhsqrrule cc --R --R 2 --R - cosh(2a x) + 2cosh(a x) + 1 --R (5) ------------------------------ --R 8a --R Type: Expression Integer --E --S 6 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (6) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 7 14:590 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=coshsqrrule dd --R --R 1 --R (7) -- --R 4a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.591~~~~~$\displaystyle \int{\sinh{px}\cosh{qx}}~dx$} $$\int{\sinh{px}\cosh{qx}}= \frac{\cosh(p+q)x}{2(p+q)}+\frac{\cosh(p-q)x}{2(p-q)} $$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(sinh(p*x)*cosh(q*x),x) --R --R --R - q sinh(p x)sinh(q x) + p cosh(p x)cosh(q x) --R (1) --------------------------------------------- --R 2 2 2 2 2 2 --R (q - p )sinh(p x) + (- q + p )cosh(p x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=(cosh(p+q)*x)/(2*(p+q))+(cosh(p-q)*x)/(2*(p-q)) --R --R (q - p)x cosh(q + p) + (- q - p)x cosh(q - p) --R (2) --------------------------------------------- --R 2 2 --R 2q - 2p --R Type: Expression Integer --E --S 10 14:591 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R - 2q sinh(p x)sinh(q x) --R + --R 2 --R ((- q + p)x cosh(q + p) + (q + p)x cosh(q - p))sinh(p x) --R + --R 2p cosh(p x)cosh(q x) --R + --R 2 --R ((q - p)x cosh(q + p) + (- q - p)x cosh(q - p))cosh(p x) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R (2q - 2p )sinh(p x) + (- 2q + 2p )cosh(p x) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.592~~~~~$\displaystyle \int{\sinh^n{ax}\cosh{ax}}~dx$} $$\int{\sinh^n{ax}\cosh{ax}}= \frac{\sinh^{n+1}{ax}}{(n+1)a} $$ <<*>>= )clear all --S 11 aa:=integrate(sinh(a*x)^n*cosh(a*x),x) --R --R --R - sinh(a x)sinh(n log(sinh(a x))) - sinh(a x)cosh(n log(sinh(a x))) --R (1) ------------------------------------------------------------------- --R 2 2 --R (a n + a)sinh(a x) + (- a n - a)cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 12 bb:=sinh(a*x)/((n+1)*a) --R --R sinh(a x) --R (2) --------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 13 14:592 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R - sinh(a x)sinh(n log(sinh(a x))) - sinh(a x)cosh(n log(sinh(a x))) --R + --R 3 2 --R - sinh(a x) + cosh(a x) sinh(a x) --R / --R 2 2 --R (a n + a)sinh(a x) + (- a n - a)cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.593~~~~~$\displaystyle \int{\cosh^n{ax}\sinh{ax}}~dx$} $$\int{\cosh^n{ax}\sinh{ax}}= \frac{\cosh^{n+1}{ax}}{(n+1)a} $$ <<*>>= )clear all --S 14 aa:=integrate(cosh(a*x)^n*sinh(a*x),x) --R --R --R - cosh(a x)sinh(n log(cosh(a x))) - cosh(a x)cosh(n log(cosh(a x))) --R (1) ------------------------------------------------------------------- --R 2 2 --R (a n + a)sinh(a x) + (- a n - a)cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 15 bb:=cosh(a*x)^(n+1)/((n+1)*a) --R --R n + 1 --R cosh(a x) --R (2) -------------- --R a n + a --R Type: Expression Integer --E --S 16 14:593 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R - cosh(a x)sinh(n log(cosh(a x))) - cosh(a x)cosh(n log(cosh(a x))) --R + --R 2 2 n + 1 --R (- sinh(a x) + cosh(a x) )cosh(a x) --R / --R 2 2 --R (a n + a)sinh(a x) + (- a n - a)cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.594~~~~~$\displaystyle \int{\sinh^2{ax}\cosh^2{ax}}~dx$} $$\int{\sinh^2{ax}\cosh^2{ax}}= \frac{\sinh{4ax}}{32a}-\frac{x}{8} $$ <<*>>= )clear all --S 17 aa:=integrate(sinh(a*x)^2*cosh(a*x)^2,x) --R --R --R 3 3 --R cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) sinh(a x) - a x --R (1) ----------------------------------------------- --R 8a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 18 bb:=sinh(4*a*x)/(32*a)-x/8 --R --R sinh(4a x) - 4a x --R (2) ----------------- --R 32a --R Type: Expression Integer --E --S 19 14:594 Schaums and Axiom agree cc:=complexNormalize(aa-bb) --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.595~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh{ax}\cosh{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh{ax}\cosh{ax}}}= \frac{1}{a}\ln\tanh{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 20 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)*cosh(a*x)),x) --R --R --R 2cosh(a x) 2sinh(a x) --R - log(- ---------------------) + log(- ---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) --R (1) ------------------------------------------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 21 bb:=1/a*log(tanh(a*x)) --R --R log(tanh(a x)) --R (2) -------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 22 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2cosh(a x) --R - log(tanh(a x)) - log(- ---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) --R + --R 2sinh(a x) --R log(- ---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 23 dd:=expandLog cc --R --R - log(tanh(a x)) + log(sinh(a x)) - log(cosh(a x)) --R (4) -------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 24 tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x)) --R --R sinh(x) --R (5) tanh(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 25 ee:=tanhrule dd --R --R sinh(a x) --R log(sinh(a x)) - log(---------) - log(cosh(a x)) --R cosh(a x) --R (6) ------------------------------------------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 26 14:595 Schaums and Axiom agree ff:=expandLog ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.596~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh^2{ax}\cosh{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh^2{ax}\cosh{ax}}}= -\frac{1}{a}\tan^{-1}\sinh{ax}-\frac{{\rm csch~}{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 27 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)^2*cosh(a*x)),x) --R --R (1) --R 2 2 --R (- 2sinh(a x) - 4cosh(a x)sinh(a x) - 2cosh(a x) + 2) --R * --R atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R + --R - 2sinh(a x) - 2cosh(a x) --R / --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 28 bb:=-1/a*atan(sinh(a*x)-csch(a*x))/a --R --R atan(sinh(a x) - csch(a x)) --R (2) - --------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 29 14:596 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 --R (- 2a sinh(a x) - 4a cosh(a x)sinh(a x) - 2a cosh(a x) + 2a) --R * --R atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R + --R 2 2 --R (sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R * --R atan(sinh(a x) - csch(a x)) --R + --R - 2a sinh(a x) - 2a cosh(a x) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.597~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh{ax}\cosh^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh{ax}\cosh^2{ax}}}= \frac{{\rm sech~}{ax}}{a}+\frac{1}{a}\ln\tanh{\frac{ax}{2}} $$ <<*>>= )clear all --S 30 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)*cosh(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R / --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 31 bb:=sech(a*x)/a+1/a*log(tanh((a*x)/2)) --R --R a x --R log(tanh(---)) + sech(a x) --R 2 --R (2) -------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 32 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 a x --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1)log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 --R - sech(a x)sinh(a x) + (- 2cosh(a x)sech(a x) + 2)sinh(a x) --R + --R 2 --R (- cosh(a x) - 1)sech(a x) + 2cosh(a x) --R / --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 33 sechrule:=rule(sech(x) == 1/cosh(x)) --R --R 1 --R (4) sech(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 34 dd:=sechrule cc --R --R (5) --R 2 2 3 --R (- cosh(a x)sinh(a x) - 2cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) - cosh(a x)) --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 2 3 --R (- cosh(a x)sinh(a x) - 2cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) - cosh(a x)) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 3 --R (cosh(a x)sinh(a x) + 2cosh(a x) sinh(a x) + cosh(a x) + cosh(a x)) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R - sinh(a x) + cosh(a x) - 1 --R / --R 2 2 3 --R a cosh(a x)sinh(a x) + 2a cosh(a x) sinh(a x) + a cosh(a x) + a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 35 tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x)) --R --R sinh(x) --R (6) tanh(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 36 ee:=tanhrule dd --R --R (7) --R 2 2 3 --R (- cosh(a x)sinh(a x) - 2cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) - cosh(a x)) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 3 --R (cosh(a x)sinh(a x) + 2cosh(a x) sinh(a x) + cosh(a x) + cosh(a x)) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 3 --R (- cosh(a x)sinh(a x) - 2cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) - cosh(a x)) --R * --R a x --R sinh(---) --R 2 --R log(---------) --R a x --R cosh(---) --R 2 --R + --R 2 2 --R - sinh(a x) + cosh(a x) - 1 --R / --R 2 2 3 --R a cosh(a x)sinh(a x) + 2a cosh(a x) sinh(a x) + a cosh(a x) + a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 37 coshcuberule:=rule(cosh(x)^3 == 1/4*cosh(3*x)-3/4*cosh(x)) --R --R 3 cosh(3x) - 3cosh(x) --R (8) cosh(x) == ------------------- --R 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 38 ff:=coshcuberule ee --R --R (9) --R 2 2 --R - 4cosh(a x)sinh(a x) - 8cosh(a x) sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R - cosh(a x) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (4cosh(a x)sinh(a x) + 8cosh(a x) sinh(a x) + cosh(3a x) + cosh(a x)) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R - 4cosh(a x)sinh(a x) - 8cosh(a x) sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R - cosh(a x) --R * --R a x --R sinh(---) --R 2 --R log(---------) --R a x --R cosh(---) --R 2 --R + --R 2 2 --R - 4sinh(a x) + 4cosh(a x) - 4 --R / --R 2 2 --R 4a cosh(a x)sinh(a x) + 8a cosh(a x) sinh(a x) + a cosh(3a x) --R + --R a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 39 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (10) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 40 gg:=coshsqrrule ff --R --R (11) --R 2 --R - 4cosh(a x)sinh(a x) + (- 4cosh(2a x) - 4)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R - cosh(a x) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R 4cosh(a x)sinh(a x) + (4cosh(2a x) + 4)sinh(a x) + cosh(3a x) --R + --R cosh(a x) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 --R - 4cosh(a x)sinh(a x) + (- 4cosh(2a x) - 4)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R - cosh(a x) --R * --R a x --R sinh(---) --R 2 --R log(---------) --R a x --R cosh(---) --R 2 --R + --R 2 --R - 4sinh(a x) + 2cosh(2a x) - 2 --R / --R 2 --R 4a cosh(a x)sinh(a x) + (4a cosh(2a x) + 4a)sinh(a x) + a cosh(3a x) --R + --R a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E --S 41 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (12) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 42 hh:=sinhsqrrule gg --R --R (13) --R - log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) + log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R a x --R sinh(---) --R 2 --R - log(---------) --R a x --R cosh(---) --R 2 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 43 ii:=expandLog hh --R --R (14) --R - log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) + log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R a x a x --R - log(sinh(---)) + log(cosh(---)) --R 2 2 --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 44 14:597 Schaums and Axiom agree jj:=complexNormalize ii --R --R (15) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.598~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh^2{ax}\cosh^2{ax}}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh^2{ax}\cosh^2{ax}}}= -\frac{2\coth{2ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 45 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)^2*cosh(a*x)^2),x) --R --R --R (1) --R - --R 4 --R / --R 4 3 2 2 --R a sinh(a x) + 4a cosh(a x)sinh(a x) + 6a cosh(a x) sinh(a x) --R + --R 3 4 --R 4a cosh(a x) sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 46 bb:=-(2*coth(2*a*x))/a --R --R 2coth(2a x) --R (2) - ----------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 47 14:598 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R 4 3 --R 2coth(2a x)sinh(a x) + 8cosh(a x)coth(2a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 3 --R 12cosh(a x) coth(2a x)sinh(a x) + 8cosh(a x) coth(2a x)sinh(a x) --R + --R 4 --R (2cosh(a x) - 2)coth(2a x) - 4 --R / --R 4 3 2 2 --R a sinh(a x) + 4a cosh(a x)sinh(a x) + 6a cosh(a x) sinh(a x) --R + --R 3 4 --R 4a cosh(a x) sinh(a x) + a cosh(a x) - a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.599~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sinh^2{ax}}{\cosh{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\sinh^2{ax}}{\cosh{ax}}}~dx= \frac{\sinh{ax}}{a}-\frac{1}{a}\tan^{-1}\sinh{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 48 aa:=integrate(sinh(a*x)^2/cosh(a*x),x) --R --R --R (1) --R 2 --R (- 4sinh(a x) - 4cosh(a x))atan(sinh(a x) + cosh(a x)) + sinh(a x) --R + --R 2 --R 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) - 1 --R / --R 2a sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 49 bb:=sinh(a*x)/a-1/a*atan(sinh(a*x)) --R --R - atan(sinh(a x)) + sinh(a x) --R (2) ----------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 50 14:599 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R (- 4sinh(a x) - 4cosh(a x))atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R + --R 2 2 --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x))atan(sinh(a x)) - sinh(a x) + cosh(a x) - 1 --R / --R 2a sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.600~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh^2{ax}}{\sinh{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh^2{ax}}{\sinh{ax}}}= \frac{\cosh{ax}}{a}+\frac{1}{a}\ln\tanh{\frac{ax}{2}} $$ <<*>>= )clear all --S 51 aa:=integrate(cosh(a*x)^2/sinh(a*x),x) --R --R --R (1) --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x))log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x))log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) + sinh(a x) --R + --R 2 --R 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R / --R 2a sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 52 bb:=cosh(a*x)/a+1/a*log(tanh((a*x)/2)) --R --R a x --R log(tanh(---)) + cosh(a x) --R 2 --R (2) -------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 53 14:600 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R a x --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x))log(tanh(---)) --R 2 --R + --R (- 2sinh(a x) - 2cosh(a x))log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (2sinh(a x) + 2cosh(a x))log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) + sinh(a x) --R + --R 2 --R - cosh(a x) + 1 --R / --R 2a sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.601~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\cosh{ax}(1+\sinh{ax})}}$} $$\int{\frac{1}{\cosh{ax}(1+\sinh{ax})}}= \frac{1}{2a}\ln\left(\frac{1+\sinh{ax}}{\cosh{ax}}\right) +\frac{1}{a}\tan^{-1}{e^{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 54 aa:=integrate(1/(cosh(a*x)*(1+sinh(a*x))),x) --R --R --R (1) --R 2cosh(a x) - 2sinh(a x) - 2 --R - log(- ---------------------) + log(---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) --R + --R 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R / --R 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 55 bb:=1/(2*a)*log((1+sinh(a*x))/cosh(a*x))+1/a*atan(%e^(a*x)) --R --R sinh(a x) + 1 a x --R log(-------------) + 2atan(%e ) --R cosh(a x) --R (2) --------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 56 cc:=aa-bb --R --R (3) --R sinh(a x) + 1 2cosh(a x) --R - log(-------------) - log(- ---------------------) --R cosh(a x) sinh(a x) - cosh(a x) --R + --R - 2sinh(a x) - 2 a x --R log(---------------------) + 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - 2atan(%e ) --R sinh(a x) - cosh(a x) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 57 dd:=expandLog cc --R --R a x --R atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - atan(%e ) --R (4) ----------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 58 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (5) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 59 ee:=atanrule dd --R --R a x --R - %e + %i - sinh(a x) - cosh(a x) + %i --R %i log(------------) - %i log(----------------------------) --R a x sinh(a x) + cosh(a x) + %i --R %e + %i --R (6) ----------------------------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 60 ff:=expandLog ee --R --R (7) --R %i log(sinh(a x) + cosh(a x) + %i) - %i log(sinh(a x) + cosh(a x) - %i) --R + --R a x a x --R - %i log(%e + %i) + %i log(%e - %i) --R / --R 2a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 61 14:601 Schaums and Axiom agree gg:=complexNormalize ff --R --R (8) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.602~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh{ax}(\cosh{ax}+1)}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh{ax}(\cosh{ax}+1)}}= \frac{1}{2a}\ln\tanh\frac{ax}{2}+\frac{1}{2a(\cosh{ax}+1)} $$ <<*>>= )clear all --S 62 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)*(cosh(a*x)+1)),x) --R --R --R (1) --R 2 2 --R - sinh(a x) + (- 2cosh(a x) - 2)sinh(a x) - cosh(a x) - 2cosh(a x) --R + --R - 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (sinh(a x) + (2cosh(a x) + 2)sinh(a x) + cosh(a x) + 2cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R / --R 2 2 --R 2a sinh(a x) + (4a cosh(a x) + 4a)sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R + --R 4a cosh(a x) + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 63 bb:=1/(2*a)*log(tanh((a*x)/2))+1/(2*a*(cosh(a*x)+1)) --R --R a x --R (cosh(a x) + 1)log(tanh(---)) + 1 --R 2 --R (2) --------------------------------- --R 2a cosh(a x) + 2a --R Type: Expression Integer --E --S 64 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 --R (- cosh(a x) - 1)sinh(a x) --R + --R 2 3 2 --R (- 2cosh(a x) - 4cosh(a x) - 2)sinh(a x) - cosh(a x) - 3cosh(a x) --R + --R - 3cosh(a x) - 1 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 --R (- cosh(a x) - 1)sinh(a x) --R + --R 2 3 2 --R (- 2cosh(a x) - 4cosh(a x) - 2)sinh(a x) - cosh(a x) - 3cosh(a x) --R + --R - 3cosh(a x) - 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (cosh(a x) + 1)sinh(a x) + (2cosh(a x) + 4cosh(a x) + 2)sinh(a x) --R + --R 3 2 --R cosh(a x) + 3cosh(a x) + 3cosh(a x) + 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R - sinh(a x) + cosh(a x) - 1 --R / --R 2 --R (2a cosh(a x) + 2a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (4a cosh(a x) + 8a cosh(a x) + 4a)sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R + --R 2 --R 6a cosh(a x) + 6a cosh(a x) + 2a --R Type: Expression Integer --E --S 65 coshcuberule:=rule(cosh(x)^3 == 1/4*cosh(3*x)-3/4*cosh(x)) --R --R 3 cosh(3x) - 3cosh(x) --R (4) cosh(x) == ------------------- --R 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 66 dd:=coshcuberule cc --R --R (5) --R 2 --R (- 4cosh(a x) - 4)sinh(a x) --R + --R 2 --R (- 8cosh(a x) - 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R - 12cosh(a x) - 9cosh(a x) - 4 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 --R (- 4cosh(a x) - 4)sinh(a x) --R + --R 2 --R (- 8cosh(a x) - 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R - 12cosh(a x) - 9cosh(a x) - 4 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R (4cosh(a x) + 4)sinh(a x) + (8cosh(a x) + 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) --R + --R 2 --R cosh(3a x) + 12cosh(a x) + 9cosh(a x) + 4 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R - 4sinh(a x) + 4cosh(a x) - 4 --R / --R 2 --R (8a cosh(a x) + 8a)sinh(a x) --R + --R 2 --R (16a cosh(a x) + 32a cosh(a x) + 16a)sinh(a x) + 2a cosh(3a x) --R + --R 2 --R 24a cosh(a x) + 18a cosh(a x) + 8a --R Type: Expression Integer --E --S 67 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (6) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 68 ee:=sinhsqrrule dd --R --R (7) --R 2 --R (- 8cosh(a x) - 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R (- 2cosh(a x) - 2)cosh(2a x) - 12cosh(a x) - 7cosh(a x) - 2 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 --R (- 8cosh(a x) - 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R (- 2cosh(a x) - 2)cosh(2a x) - 12cosh(a x) - 7cosh(a x) - 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (8cosh(a x) + 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) + cosh(3a x) --R + --R 2 --R (2cosh(a x) + 2)cosh(2a x) + 12cosh(a x) + 7cosh(a x) + 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 --R - 2cosh(2a x) + 4cosh(a x) - 2 --R / --R 2 --R (16a cosh(a x) + 32a cosh(a x) + 16a)sinh(a x) + 2a cosh(3a x) --R + --R 2 --R (4a cosh(a x) + 4a)cosh(2a x) + 24a cosh(a x) + 14a cosh(a x) + 4a --R Type: Expression Integer --E --S 69 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (8) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 70 ff:=coshsqrrule ee --R --R (9) --R a x --R - log(tanh(---)) - log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R 2 --R + --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 71 14:602 Schaums and Axiom agree gg:=complexNormalize ff --R --R (10) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.603~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{\sinh{ax}(\cosh{ax}-1)}}$} $$\int{\frac{1}{\sinh{ax}(\cosh{ax}-1)}}= -\frac{1}{2a}\ln\tanh\frac{ax}{2}-\frac{1}{2a(cosh{ax}-1)} $$ <<*>>= )clear all --S 72 aa:=integrate(1/(sinh(a*x)*(cosh(a*x)-1)),x) --R --R --R (1) --R 2 2 --R (sinh(a x) + (2cosh(a x) - 2)sinh(a x) + cosh(a x) - 2cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 2 --R - sinh(a x) + (- 2cosh(a x) + 2)sinh(a x) - cosh(a x) + 2cosh(a x) --R + --R - 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R - 2sinh(a x) - 2cosh(a x) --R / --R 2 2 --R 2a sinh(a x) + (4a cosh(a x) - 4a)sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R + --R - 4a cosh(a x) + 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 73 bb:=-1/(2*a)*log(tanh((a*x)/2))-1/(2*a*(cosh(a*x)-1)) --R --R a x --R (- cosh(a x) + 1)log(tanh(---)) - 1 --R 2 --R (2) ----------------------------------- --R 2a cosh(a x) - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 74 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 --R (cosh(a x) - 1)sinh(a x) + (2cosh(a x) - 4cosh(a x) + 2)sinh(a x) --R + --R 3 2 --R cosh(a x) - 3cosh(a x) + 3cosh(a x) - 1 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 2 --R (cosh(a x) - 1)sinh(a x) + (2cosh(a x) - 4cosh(a x) + 2)sinh(a x) --R + --R 3 2 --R cosh(a x) - 3cosh(a x) + 3cosh(a x) - 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (- cosh(a x) + 1)sinh(a x) --R + --R 2 3 2 --R (- 2cosh(a x) + 4cosh(a x) - 2)sinh(a x) - cosh(a x) + 3cosh(a x) --R + --R - 3cosh(a x) + 1 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R sinh(a x) - cosh(a x) + 1 --R / --R 2 --R (2a cosh(a x) - 2a)sinh(a x) --R + --R 2 3 --R (4a cosh(a x) - 8a cosh(a x) + 4a)sinh(a x) + 2a cosh(a x) --R + --R 2 --R - 6a cosh(a x) + 6a cosh(a x) - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 75 coshcuberule:=rule(cosh(x)^3 == 1/4*cosh(3*x)-3/4*cosh(x)) --R --R 3 cosh(3x) - 3cosh(x) --R (4) cosh(x) == ------------------- --R 4 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 76 dd:=coshcuberule cc --R --R (5) --R 2 2 --R (4cosh(a x) - 4)sinh(a x) + (8cosh(a x) - 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) --R + --R 2 --R cosh(3a x) - 12cosh(a x) + 9cosh(a x) - 4 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 2 --R (4cosh(a x) - 4)sinh(a x) + (8cosh(a x) - 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) --R + --R 2 --R cosh(3a x) - 12cosh(a x) + 9cosh(a x) - 4 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (- 4cosh(a x) + 4)sinh(a x) --R + --R 2 --R (- 8cosh(a x) + 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R 12cosh(a x) - 9cosh(a x) + 4 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 2 --R 4sinh(a x) - 4cosh(a x) + 4 --R / --R 2 --R (8a cosh(a x) - 8a)sinh(a x) --R + --R 2 --R (16a cosh(a x) - 32a cosh(a x) + 16a)sinh(a x) + 2a cosh(3a x) --R + --R 2 --R - 24a cosh(a x) + 18a cosh(a x) - 8a --R Type: Expression Integer --E --S 77 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (6) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 78 ee:=sinhsqrrule dd --R --R (7) --R 2 --R (8cosh(a x) - 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) + cosh(3a x) --R + --R 2 --R (2cosh(a x) - 2)cosh(2a x) - 12cosh(a x) + 7cosh(a x) - 2 --R * --R a x --R log(tanh(---)) --R 2 --R + --R 2 --R (8cosh(a x) - 16cosh(a x) + 8)sinh(a x) + cosh(3a x) --R + --R 2 --R (2cosh(a x) - 2)cosh(2a x) - 12cosh(a x) + 7cosh(a x) - 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R 2 --R (- 8cosh(a x) + 16cosh(a x) - 8)sinh(a x) - cosh(3a x) --R + --R 2 --R (- 2cosh(a x) + 2)cosh(2a x) + 12cosh(a x) - 7cosh(a x) + 2 --R * --R log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R + --R 2 --R 2cosh(2a x) - 4cosh(a x) + 2 --R / --R 2 --R (16a cosh(a x) - 32a cosh(a x) + 16a)sinh(a x) + 2a cosh(3a x) --R + --R 2 --R (4a cosh(a x) - 4a)cosh(2a x) - 24a cosh(a x) + 14a cosh(a x) - 4a --R Type: Expression Integer --E --S 79 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (8) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 80 ff:=coshsqrrule ee --R --R (9) --R a x --R log(tanh(---)) + log(sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R 2 --R + --R - log(sinh(a x) + cosh(a x) - 1) --R / --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 81 14:603 Schaums and Axiom agree gg:=complexNormalize ff --R --R (10) 0 --R Type: Expression Integer --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp89-90 \end{thebibliography} \end{document}