\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum30.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.604~~~~~$\displaystyle
\int{\tanh{ax}}~dx$}
$$\int{\tanh{ax}}=
\frac{1}{a}\ln\cosh{ax}
$$
<<*>>=
)spool schaum30.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate(tanh(a*x),x)
--R 
--R
--R                    2cosh(a x)
--R        log(- ---------------------) - a x
--R              sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (1)  ----------------------------------
--R                         a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb:=1/a*log(cosh(a*x))
--R
--R        log(cosh(a x))
--R   (2)  --------------
--R               a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3
cc:=aa-bb
--R
--R                                       2cosh(a x)
--R        - log(cosh(a x)) + log(- ---------------------) - a x
--R                                 sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (3)  -----------------------------------------------------
--R                                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 4
dd:=expandLog cc
--R
--R        - log(sinh(a x) - cosh(a x)) + log(- 2) - a x
--R   (4)  ---------------------------------------------
--R                              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 5      14:604 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        - log(- 1) + log(- 2)
--R   (5)  ---------------------
--R                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.605~~~~~$\displaystyle
\int{\tanh^2{ax}}~dx$}
$$\int{\tanh^2{ax}}=
x-\frac{\tanh{ax}}{a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 6
aa:=integrate(tanh(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R        - sinh(a x) + (a x + 1)cosh(a x)
--R   (1)  --------------------------------
--R                   a cosh(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 7
bb:=x-tanh(a*x)/a
--R
--R        - tanh(a x) + a x
--R   (2)  -----------------
--R                a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 8
cc:=aa-bb
--R
--R        cosh(a x)tanh(a x) - sinh(a x) + cosh(a x)
--R   (3)  ------------------------------------------
--R                        a cosh(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 9
tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x))
--R
--R                   sinh(x)
--R   (4)  tanh(x) == -------
--R                   cosh(x)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 10     14:605 Schaums and Axiom differ by a constant
dd:=tanhrule cc
--R
--R        1
--R   (5)  -
--R        a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.606~~~~~$\displaystyle
\int{\tanh^3{ax}}~dx$}
$$\int{\tanh^3{ax}}=
\frac{1}{a}\ln\cosh{ax}-\frac{\tanh^2{ax}}{2a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 11
aa:=integrate(tanh(a*x)^3,x)
--R 
--R
--R   (1)
--R                    4                      3              2              2
--R           sinh(a x)  + 4cosh(a x)sinh(a x)  + (6cosh(a x)  + 2)sinh(a x)
--R         + 
--R                      3                                   4             2
--R           (4cosh(a x)  + 4cosh(a x))sinh(a x) + cosh(a x)  + 2cosh(a x)  + 1
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                      4                          3
--R       - a x sinh(a x)  - 4a x cosh(a x)sinh(a x)
--R     + 
--R                        2                     2
--R       (- 6a x cosh(a x)  - 2a x + 2)sinh(a x)
--R     + 
--R                        3                                                  4
--R       (- 4a x cosh(a x)  + (- 4a x + 4)cosh(a x))sinh(a x) - a x cosh(a x)
--R     + 
--R                            2
--R       (- 2a x + 2)cosh(a x)  - a x
--R  /
--R                  4                        3                2               2
--R       a sinh(a x)  + 4a cosh(a x)sinh(a x)  + (6a cosh(a x)  + 2a)sinh(a x)
--R     + 
--R                  3                                       4               2
--R     (4a cosh(a x)  + 4a cosh(a x))sinh(a x) + a cosh(a x)  + 2a cosh(a x)  + a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 12
bb:=1/a*log(cosh(a*x))-tanh(a*x)^2/(2*a)
--R
--R                                   2
--R        2log(cosh(a x)) - tanh(a x)
--R   (2)  ----------------------------
--R                     2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 13     14:606 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                       4                      3                 2              2
--R           - 2sinh(a x)  - 8cosh(a x)sinh(a x)  + (- 12cosh(a x)  - 4)sinh(a x)
--R         + 
--R                      3                                    4             2
--R         (- 8cosh(a x)  - 8cosh(a x))sinh(a x) - 2cosh(a x)  - 4cosh(a x)  - 2
--R      *
--R         log(cosh(a x))
--R     + 
--R                     4                      3               2              2
--R           2sinh(a x)  + 8cosh(a x)sinh(a x)  + (12cosh(a x)  + 4)sinh(a x)
--R         + 
--R                      3                                    4             2
--R           (8cosh(a x)  + 8cosh(a x))sinh(a x) + 2cosh(a x)  + 4cosh(a x)  + 2
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                    4                      3              2              2
--R           sinh(a x)  + 4cosh(a x)sinh(a x)  + (6cosh(a x)  + 2)sinh(a x)
--R         + 
--R                      3                                   4             2
--R           (4cosh(a x)  + 4cosh(a x))sinh(a x) + cosh(a x)  + 2cosh(a x)  + 1
--R      *
--R                  2
--R         tanh(a x)
--R     + 
--R                       4                          3
--R       - 2a x sinh(a x)  - 8a x cosh(a x)sinh(a x)
--R     + 
--R                         2                     2
--R       (- 12a x cosh(a x)  - 4a x + 4)sinh(a x)
--R     + 
--R                        3                                                   4
--R       (- 8a x cosh(a x)  + (- 8a x + 8)cosh(a x))sinh(a x) - 2a x cosh(a x)
--R     + 
--R                            2
--R       (- 4a x + 4)cosh(a x)  - 2a x
--R  /
--R                   4                        3                 2               2
--R       2a sinh(a x)  + 8a cosh(a x)sinh(a x)  + (12a cosh(a x)  + 4a)sinh(a x)
--R     + 
--R                    3                                        4               2
--R       (8a cosh(a x)  + 8a cosh(a x))sinh(a x) + 2a cosh(a x)  + 4a cosh(a x)
--R     + 
--R       2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.607~~~~~$\displaystyle
\int{\tanh^n{ax}{{\rm ~sech}^2{ax}}}~dx$}
$$\int{\tanh^n{ax}{{\rm ~sech}^2{ax}}}=
\frac{\tanh^{n+1}{ax}}{(n+1)a}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 14
aa:=integrate(tanh(a*x)^n*sech(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R                            sinh(a x)                         sinh(a x)
--R        sinh(a x)sinh(n log(---------)) + sinh(a x)cosh(n log(---------))
--R                            cosh(a x)                         cosh(a x)
--R   (1)  -----------------------------------------------------------------
--R                                (a n + a)cosh(a x)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 15
bb:=tanh(a*x)^(n+1)/((n+1)*a)
--R
--R                 n + 1
--R        tanh(a x)
--R   (2)  --------------
--R            a n + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 16     14:607 Axiom cannot simplify this expression
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                           sinh(a x)                         sinh(a x)
--R       sinh(a x)sinh(n log(---------)) + sinh(a x)cosh(n log(---------))
--R                           cosh(a x)                         cosh(a x)
--R     + 
--R                           n + 1
--R       - cosh(a x)tanh(a x)
--R  /
--R     (a n + a)cosh(a x)
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.608~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{{\rm sech}^2{ax}}{\tanh{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{{\rm sech}^2{ax}}{\tanh{ax}}}=
\frac{1}{a}\ln\tanh{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 17
aa:=integrate(sech(a*x)^2/tanh(a*x),x)
--R 
--R
--R                      2cosh(a x)                     2sinh(a x)
--R        - log(- ---------------------) + log(- ---------------------)
--R                sinh(a x) - cosh(a x)          sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (1)  -------------------------------------------------------------
--R                                      a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 18
bb:=1/a*log(tanh(a*x))
--R
--R        log(tanh(a x))
--R   (2)  --------------
--R               a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 19
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                      2cosh(a x)
--R       - log(tanh(a x)) - log(- ---------------------)
--R                                sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                   2sinh(a x)
--R       log(- ---------------------)
--R             sinh(a x) - cosh(a x)
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 20
tanhrule:=rule(tanh(x) == sinh(x)/cosh(x))
--R
--R                   sinh(x)
--R   (4)  tanh(x) == -------
--R                   cosh(x)
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 21
dd:=tanhrule cc
--R
--R   (5)
--R             sinh(a x)                2cosh(a x)
--R       - log(---------) - log(- ---------------------)
--R             cosh(a x)          sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                   2sinh(a x)
--R       log(- ---------------------)
--R             sinh(a x) - cosh(a x)
--R  /
--R     a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 22     14:608 Schaums and Axiom agree
ee:=expandLog dd
--R
--R   (6)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.609~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{\tanh{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{\tanh{ax}}}=
\frac{1}{a}\ln\sinh{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 23
aa:=integrate(1/tanh(a*x),x)
--R 
--R
--R                    2sinh(a x)
--R        log(- ---------------------) - a x
--R              sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (1)  ----------------------------------
--R                         a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 24
bb:=1/a*log(sinh(a*x))
--R
--R        log(sinh(a x))
--R   (2)  --------------
--R               a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 25
cc:=aa-bb
--R
--R                                       2sinh(a x)
--R        - log(sinh(a x)) + log(- ---------------------) - a x
--R                                 sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (3)  -----------------------------------------------------
--R                                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 26
dd:=expandLog cc
--R
--R        - log(sinh(a x) - cosh(a x)) + log(- 2) - a x
--R   (4)  ---------------------------------------------
--R                              a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 27     14:609 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        - log(- 1) + log(- 2)
--R   (5)  ---------------------
--R                  a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.610~~~~~$\displaystyle
\int{x\tanh{ax}}~dx$}
$$\int{x\tanh{ax}}=
\frac{1}{a^2}\left\{
\frac{(ax)^3}{3}-\frac{(ax)^5}{15}+\frac{2(ax)^7}{105}-\cdots
\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots\right\}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 28     14:610 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(x*tanh(a*x),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++
--I   (1)   |   %O tanh(%O a)d%O
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.611~~~~~$\displaystyle
\int{x\tanh^2{ax}}~dx$}
$$\int{x\tanh^2{ax}}=
\frac{x^2}{2}-\frac{x\tanh{ax}}{a}+\frac{1}{a^2}\ln\cosh{ax}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 29
aa:=integrate(x*tanh(a*x)^2,x)
--R 
--R
--R   (1)
--R                    2                                   2
--R         (2sinh(a x)  + 4cosh(a x)sinh(a x) + 2cosh(a x)  + 2)
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R         2 2                 2      2 2
--R       (a x  - 4a x)sinh(a x)  + (2a x  - 8a x)cosh(a x)sinh(a x)
--R     + 
--R         2 2                 2    2 2
--R       (a x  - 4a x)cosh(a x)  + a x
--R  /
--R       2         2     2                       2         2     2
--R     2a sinh(a x)  + 4a cosh(a x)sinh(a x) + 2a cosh(a x)  + 2a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E

--S 30
bb:=x^2/2-(x*tanh(a*x))/a+1/a^2*log(cosh(a*x))
--R
--R                                            2 2
--R        2log(cosh(a x)) - 2a x tanh(a x) + a x
--R   (2)  ---------------------------------------
--R                            2
--R                          2a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 31
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                   2                                  2
--R       (- sinh(a x)  - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x)  - 1)log(cosh(a x))
--R     + 
--R                   2                                  2
--R         (sinh(a x)  + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x)  + 1)
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                       2                                          2
--R         (a x sinh(a x)  + 2a x cosh(a x)sinh(a x) + a x cosh(a x)  + a x)
--R      *
--R         tanh(a x)
--R     + 
--R                       2                                           2
--R       - 2a x sinh(a x)  - 4a x cosh(a x)sinh(a x) - 2a x cosh(a x)
--R  /
--R      2         2     2                      2         2    2
--R     a sinh(a x)  + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x)  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 32
sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) - 1
--R   (4)  sinh(x)  == ------------
--R                          2
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 33
dd:=sinhsqrrule cc
--R
--R   (5)
--R                                                       2
--R       (- 4cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 2cosh(a x)  - 1)log(cosh(a x))
--R     + 
--R                                                       2
--R         (4cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 2cosh(a x)  + 1)
--R      *
--R                     2cosh(a x)
--R         log(- ---------------------)
--R               sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R                                                                   2
--R         (4a x cosh(a x)sinh(a x) + a x cosh(2a x) + 2a x cosh(a x)  + a x)
--R      *
--R         tanh(a x)
--R     + 
--R                                                                   2
--R       - 8a x cosh(a x)sinh(a x) - 2a x cosh(2a x) - 4a x cosh(a x)  + 2a x
--R  /
--R       2                      2               2         2    2
--R     4a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + 2a cosh(a x)  + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 34
coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2)
--R
--R               2    cosh(2x) + 1
--R   (6)  cosh(x)  == ------------
--R                          2
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 35
ee:=coshsqrrule dd
--R
--R   (7)
--R       (- 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 1)log(cosh(a x))
--R     + 
--R                                                         2cosh(a x)
--R       (2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 1)log(- ---------------------)
--R                                                   sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R       (2a x cosh(a x)sinh(a x) + a x cosh(2a x) + a x)tanh(a x)
--R     + 
--R       - 4a x cosh(a x)sinh(a x) - 2a x cosh(2a x)
--R  /
--R       2                      2              2
--R     2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 36
ff:=expandLog ee
--R
--R   (8)
--R       (- 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 1)log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     + 
--R       (2a x cosh(a x)sinh(a x) + a x cosh(2a x) + a x)tanh(a x)
--R     + 
--R       (2log(- 2) - 4a x)cosh(a x)sinh(a x) + (log(- 2) - 2a x)cosh(2a x)
--R     + 
--R       log(- 2)
--R  /
--R       2                      2              2
--R     2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 37
sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y)))
--R
--I                             %N sinh(y + x) - %N sinh(y - x)
--I   (9)  %N cosh(y)sinh(x) == -------------------------------
--R                                            2
--R                        Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
--E

--S 38
gg:=sinhcoshrule ff
--R
--R   (10)
--R       (- sinh(2a x) - cosh(2a x) - 1)log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     + 
--R       (a x sinh(2a x) + a x cosh(2a x) + a x)tanh(a x)
--R     + 
--R       (log(- 2) - 2a x)sinh(2a x) + (log(- 2) - 2a x)cosh(2a x) + log(- 2)
--R  /
--R      2              2              2
--R     a sinh(2a x) + a cosh(2a x) + a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 39     14:611 Schaums and Axiom differ by a constant
hh:=complexNormalize gg
--R
--R         - log(- 1) + log(- 2)
--R   (11)  ---------------------
--R                    2
--R                   a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.612~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{\tanh{ax}}{x}}~dx$}
$$\int{\frac{\tanh{ax}}{x}}=
ax-\frac{(ax)^3}{9}+\frac{2(ax)^5}{75}-\cdots
\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_n(ax)^{2n-1}}{(2n-1)(2n)!}+\cdots
$$
<<*>>=
)clear all

--S 40     14:612 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(tanh(a*x)/x,x)
--R 
--R
--R           x
--I         ++  tanh(%O a)
--I   (1)   |   ---------- d%O
--I        ++       %O
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.613~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{p+q\tanh{ax}}}~dx$}
$$\int{\frac{1}{p+q\tanh{ax}}}=
\frac{px}{p^2-q^2}-\frac{q}{a(p^2-q^2)}\ln(q\sinh{ax}+p\cosh{ax})
$$
<<*>>=
)clear all

--S 41
aa:=integrate(1/(p+q*tanh(a*x)),x)
--R 
--R
--R              - 2q sinh(a x) - 2p cosh(a x)
--R        q log(-----------------------------) + (- a q - a p)x
--R                  sinh(a x) - cosh(a x)
--R   (1)  -----------------------------------------------------
--R                                2      2
--R                             a q  - a p
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 42
bb:=(p*x)/(p^2-q^2)-q/(a*(p^2-q^2))*log(q*sinh(a*x)+p*cosh(a*x))
--R
--R        q log(q sinh(a x) + p cosh(a x)) - a p x
--R   (2)  ----------------------------------------
--R                          2      2
--R                       a q  - a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 43
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)
--R                                                  - 2q sinh(a x) - 2p cosh(a x)
--R       - q log(q sinh(a x) + p cosh(a x)) + q log(-----------------------------)
--R                                                      sinh(a x) - cosh(a x)
--R     + 
--R       - a q x
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 44
dd:=expandLog cc
--R
--R   (4)
--R       - q log(q sinh(a x) + p cosh(a x)) - q log(sinh(a x) - cosh(a x))
--R     + 
--R       q log(- q sinh(a x) - p cosh(a x)) + q log(2) - a q x
--R  /
--R        2      2
--R     a q  - a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 45     14:613 Schaums and Axiom differ by a constant
ee:=complexNormalize dd
--R
--R        q log(2) - 2q log(- 1)
--R   (5)  ----------------------
--R                 2      2
--R              a q  - a p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.614~~~~~$\displaystyle
\int{\tanh^n{ax}}~dx$}
$$\int{\tanh^n{ax}}=
\frac{-\tanh^{n-1}{ax}}{a(n-1)}+\int{\tanh^{n-2}{ax}}
$$
<<*>>=
)clear all

--S 46     14:614 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(tanh(a*x)^n,x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++            n
--I   (1)   |   tanh(%O a) d%O
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp89-90
\end{thebibliography}
\end{document}