\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum32.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.626~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech~}{ax}}~dx$} $$\int{{\rm sech~}{ax}}= \frac{2}{a}\tanh^{-1}{e^{ax}} $$ <<*>>= )spool schaum32.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(sech(a*x),x) --R --R --R 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R (1) ---------------------------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=2/a*atan(%e^(a*x)) --R --R a x --R 2atan(%e ) --R (2) ------------ --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R a x --R 2atan(sinh(a x) + cosh(a x)) - 2atan(%e ) --R (3) ------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 4 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (4) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 5 dd:=atanrule cc --R --R a x --R - %e + %i - sinh(a x) - cosh(a x) + %i --R %i log(------------) - %i log(----------------------------) --R a x sinh(a x) + cosh(a x) + %i --R %e + %i --R (5) ----------------------------------------------------------- --R a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 6 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R %i log(sinh(a x) + cosh(a x) + %i) - %i log(sinh(a x) + cosh(a x) - %i) --R + --R a x a x --R - %i log(%e + %i) + %i log(%e - %i) --R / --R a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 7 14:626 Schaums and Axiom agree ff:=complexNormalize ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ \section{\cite{1}:14.627~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech}^2~{ax}}~dx$} $$\int{{\rm sech}^2~{ax}}= \frac{\tanh{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(sech(a*x)^2,x) --R --R --R 2 --R (1) - ------------------------------------------------------- --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=tanh(a*x)/a --R --R tanh(a x) --R (2) --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc:=aa-bb --R --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1)tanh(a x) - 2 --R (3) ------------------------------------------------------------------ --R 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 11 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (4) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 12 dd:=sinhsqrrule cc --R --R 2 --R (- 4cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 2cosh(a x) - 1)tanh(a x) - 4 --R (5) ------------------------------------------------------------------- --R 2 --R 4a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + 2a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 13 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (6) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 14 ee:=coshsqrrule dd --R --R (- 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(2a x) - 1)tanh(a x) - 2 --R (7) ----------------------------------------------------- --R 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 15 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %L sinh(y + x) - %L sinh(y - x) --I (8) %L cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 16 ff:=sinhcoshrule ee --R --R (- sinh(2a x) - cosh(2a x) - 1)tanh(a x) - 2 --R (9) -------------------------------------------- --R a sinh(2a x) + a cosh(2a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 17 14:627 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=complexNormalize ff --R --R 1 --R (10) - - --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.628~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech}^3~{ax}}~dx$} $$\int{{\rm sech}^3~{ax}}= \frac{{\rm sech}~{ax}~\tanh{ax}}{2a}+\frac{1}{2a}\tan^{-1}{\rm ~sech~}{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 18 aa:=integrate(sech(a*x)^3,x) --R --R --R (1) --R 4 3 2 2 --R sinh(a x) + 4cosh(a x)sinh(a x) + (6cosh(a x) + 2)sinh(a x) --R + --R 3 4 2 --R (4cosh(a x) + 4cosh(a x))sinh(a x) + cosh(a x) + 2cosh(a x) + 1 --R * --R atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R + --R 3 2 2 --R sinh(a x) + 3cosh(a x)sinh(a x) + (3cosh(a x) - 1)sinh(a x) --R + --R 3 --R cosh(a x) - cosh(a x) --R / --R 4 3 2 2 --R a sinh(a x) + 4a cosh(a x)sinh(a x) + (6a cosh(a x) + 2a)sinh(a x) --R + --R 3 4 2 --R (4a cosh(a x) + 4a cosh(a x))sinh(a x) + a cosh(a x) + 2a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 19 bb:=(sech(a*x)*tanh(a*x))/(2*a)+1/(2*a)*atan(sinh(a*x)) --R --R atan(sinh(a x)) + sech(a x)tanh(a x) --R (2) ------------------------------------ --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 20 14:628 Axiom cannot simplify this expression cc:=aa-bb --R --R (3) --R 4 3 2 2 --R 2sinh(a x) + 8cosh(a x)sinh(a x) + (12cosh(a x) + 4)sinh(a x) --R + --R 3 4 2 --R (8cosh(a x) + 8cosh(a x))sinh(a x) + 2cosh(a x) + 4cosh(a x) + 2 --R * --R atan(sinh(a x) + cosh(a x)) --R + --R 4 3 2 2 --R - sinh(a x) - 4cosh(a x)sinh(a x) + (- 6cosh(a x) - 2)sinh(a x) --R + --R 3 4 2 --R (- 4cosh(a x) - 4cosh(a x))sinh(a x) - cosh(a x) - 2cosh(a x) - 1 --R * --R atan(sinh(a x)) --R + --R 4 3 --R - sech(a x)sinh(a x) - 4cosh(a x)sech(a x)sinh(a x) --R + --R 2 2 --R (- 6cosh(a x) - 2)sech(a x)sinh(a x) --R + --R 3 --R (- 4cosh(a x) - 4cosh(a x))sech(a x)sinh(a x) --R + --R 4 2 --R (- cosh(a x) - 2cosh(a x) - 1)sech(a x) --R * --R tanh(a x) --R + --R 3 2 2 --R 2sinh(a x) + 6cosh(a x)sinh(a x) + (6cosh(a x) - 2)sinh(a x) --R + --R 3 --R 2cosh(a x) - 2cosh(a x) --R / --R 4 3 2 2 --R 2a sinh(a x) + 8a cosh(a x)sinh(a x) + (12a cosh(a x) + 4a)sinh(a x) --R + --R 3 4 2 --R (8a cosh(a x) + 8a cosh(a x))sinh(a x) + 2a cosh(a x) + 4a cosh(a x) --R + --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.629~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech}^n~{ax}~{\tanh{ax}}}~dx$} $$\int{{\rm sech~}^n{ax}~{\tanh{ax}}}= -\frac{{\rm sech~}^{n}{ax}}{na} $$ <<*>>= )clear all --S 21 aa:=integrate(sech(a*x)^n*tanh(a*x),x) --R --R --R (1) --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - sinh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R + --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - cosh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R / --R a n --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 22 bb:=-sech(a*x)^n/(n*a) --R --R n --R sech(a x) --R (2) - ---------- --R a n --R Type: Expression Integer --E --S 23 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - sinh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R + --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - cosh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R + --R n --R sech(a x) --R / --R a n --R Type: Expression Integer --E --S 24 sechrule:=rule(sech(x) == 1/cosh(x)) --R --R 1 --R (4) sech(x) == ------- --R cosh(x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 25 dd:=sechrule cc --R --R (5) --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - sinh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R + --R 2sinh(a x) + 2cosh(a x) --R - cosh(n log(-------------------------------------------------)) --R 2 2 --R sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1 --R + --R 1 n --R (---------) --R cosh(a x) --R / --R a n --R Type: Expression Integer --E --S 26 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R sinh --R 2 2 --R n log(sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R - n log(sinh(a x) + cosh(a x)) - n log(2) --R + --R - --R cosh --R 2 2 --R n log(sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R + --R - n log(sinh(a x) + cosh(a x)) - n log(2) --R + --R 1 n --R (---------) --R cosh(a x) --R / --R a n --R Type: Expression Integer --E --S 27 14:629 Schaums and Axiom agree ff:=complexNormalize ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.630~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{{\rm sech~}{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{{\rm sech~}{ax}}}= \frac{{\rm sech}~{ax}}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 28 aa:=integrate(1/sech(a*x),x) --R --R --R sinh(a x) --R (1) --------- --R a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 29 bb:=sinh(a*x)/a --R --R sinh(a x) --R (2) --------- --R a --R Type: Expression Integer --E --S 30 14:630 Schaums and Axiom agree cc:=aa-bb --R --R (3) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.631~~~~~$\displaystyle \int{x{\rm ~sech~}{ax}}~dx$} $$\int{x{\rm ~sech~}{ax}}= \frac{1}{a^2}\left\{ \frac{(ax)^2}{2}-\frac{(ax)^4}{8}+\frac{5(ax)^6}{144}+\cdots \frac{(-1)^{n}E_n(ax)^{2n+2}}{(2n+2)(2n)!}+\cdots\right\} $$ <<*>>= )clear all --S 31 14:631 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x*sech(a*x),x) --R --R --R x --R ++ --I (1) | %O sech(%O a)d%O --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.632~~~~~$\displaystyle \int{x~{\rm sech}^2~{ax}}~dx$} $$\int{x~{\rm sech}^2~{ax}}= \frac{x\tanh{ax}}{a}-\frac{1}{a^2}\ln\cosh{ax} $$ <<*>>= )clear all --S 32 aa:=integrate(x*sech(a*x)^2,x) --R --R --R (1) --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1) --R * --R 2cosh(a x) --R log(- ---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2a x sinh(a x) + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 33 bb:=(x*tanh(a*x))/a-1/a^2*log(cosh(a*x)) --R --R - log(cosh(a x)) + a x tanh(a x) --R (2) -------------------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E --S 34 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 2 --R (sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1)log(cosh(a x)) --R + --R 2 2 --R (- sinh(a x) - 2cosh(a x)sinh(a x) - cosh(a x) - 1) --R * --R 2cosh(a x) --R log(- ---------------------) --R sinh(a x) - cosh(a x) --R + --R 2 2 --R (- a x sinh(a x) - 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(a x) - a x) --R * --R tanh(a x) --R + --R 2 2 --R 2a x sinh(a x) + 4a x cosh(a x)sinh(a x) + 2a x cosh(a x) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 35 dd:=expandLog cc --R --R (4) --R 2 2 --R (sinh(a x) + 2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) - cosh(a x)) --R + --R 2 2 --R (- a x sinh(a x) - 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(a x) - a x) --R * --R tanh(a x) --R + --R 2 --R (- log(- 2) + 2a x)sinh(a x) + (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x)sinh(a x) --R + --R 2 --R (- log(- 2) + 2a x)cosh(a x) - log(- 2) --R / --R 2 2 2 2 2 2 --R a sinh(a x) + 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 36 sinhsqrrule:=rule(sinh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)-1/2) --R --R 2 cosh(2x) - 1 --R (5) sinh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 37 ee:=sinhsqrrule dd --R --R (6) --R 2 --R (4cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 2cosh(a x) + 1) --R * --R log(sinh(a x) - cosh(a x)) --R + --R 2 --R (- 4a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(2a x) - 2a x cosh(a x) - a x) --R * --R tanh(a x) --R + --R (- 4log(- 2) + 8a x)cosh(a x)sinh(a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x) --R + --R 2 --R (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x) - log(- 2) - 2a x --R / --R 2 2 2 2 2 --R 4a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + 2a cosh(a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 38 coshsqrrule:=rule(cosh(x)^2 == 1/2*cosh(2*x)+1/2) --R --R 2 cosh(2x) + 1 --R (7) cosh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 39 ff:=coshsqrrule ee --R --R (8) --R (2cosh(a x)sinh(a x) + cosh(2a x) + 1)log(sinh(a x) - cosh(a x)) --R + --R (- 2a x cosh(a x)sinh(a x) - a x cosh(2a x) - a x)tanh(a x) --R + --R (- 2log(- 2) + 4a x)cosh(a x)sinh(a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x) --R + --R - log(- 2) --R / --R 2 2 2 --R 2a cosh(a x)sinh(a x) + a cosh(2a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 40 sinhcoshrule:=rule(sinh(x)*cosh(y) == 1/2*(sinh(x+y)+sinh(x-y))) --R --I %P sinh(y + x) - %P sinh(y - x) --I (9) %P cosh(y)sinh(x) == ------------------------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 41 gg:=sinhcoshrule ff --R --R (10) --R (sinh(2a x) + cosh(2a x) + 1)log(sinh(a x) - cosh(a x)) --R + --R (- a x sinh(2a x) - a x cosh(2a x) - a x)tanh(a x) --R + --R (- log(- 2) + 2a x)sinh(2a x) + (- log(- 2) + 2a x)cosh(2a x) - log(- 2) --R / --R 2 2 2 --R a sinh(2a x) + a cosh(2a x) + a --R Type: Expression Integer --E --S 42 14:632 Schaums and Axiom differ by a constant hh:=complexNormalize gg --R --R log(- 1) - log(- 2) --R (11) ------------------- --R 2 --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.633~~~~~$\displaystyle \int{\frac{{\rm sech~}{ax}}{x}}~dx$} $$\int{\frac{{\rm sech~}{ax}}{x}}= \ln{x}-\frac{(ax)^2}{4}+\frac{5(ax)^4}{96}-\frac{61(ax)^6}{4320}+\cdots \frac{(-1)^{n}E_n(ax)^{2n}}{2n(2n)!}+\cdots $$ <<*>>= )clear all --S 43 14:633 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sech(a*x)/x,x) --R --R --R x --I ++ sech(%O a) --I (1) | ---------- d%O --I ++ %O --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.634~~~~~$\displaystyle \int{\frac{dx}{q+p{\rm ~sech~}{ax}}}~dx$} $$\int{\frac{1}{q+p{\rm ~sech~}{ax}}}= \frac{x}{q}-\frac{p}{q}\int{\frac{dx}{p+q\cosh{ax}}} $$ <<*>>= )clear all --S 44 aa:=integrate(1/(q+p*sech(a*x)),x) --R --R --R (1) --R [ --R p --R * --R log --R 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R q cosh(a x) + 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R a x\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a q\|- q + p --R , --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p | 2 2 --R - 2p atan(-----------------------------------------) + a x\|q - p --R 2 2 --R q - p --R --------------------------------------------------------------------] --R +-------+ --R | 2 2 --R a q\|q - p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 45 t1:=integrate(1/(p+q*cosh(a*x)),x) --R --R (2) --R [ --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a\|- q + p --R , --R +-------+ --R | 2 2 --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R 2atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R ------------------------------------------------] --R +-------+ --R | 2 2 --R a\|q - p --R Type: Union(List Expression Integer,...) --E --S 46 bb1:=x/q-p/q*t1.1 --R --R (3) --R - --R p --R * --R log --R 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) --R + --R 2 2 2 2 --R q cosh(a x) + 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R a x\|- q + p --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a q\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 47 bb2:=x/q-p/q*t1.2 --R --R +-------+ --R | 2 2 +-------+ --R (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p | 2 2 --R - 2p atan(-----------------------------------------) + a x\|q - p --R 2 2 --R q - p --R (4) -------------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R a q\|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 48 cc1:=aa.1-bb1 --R --R (5) --R p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R a q\|- q + p --R Type: Expression Integer --E --S 49 cc2:=aa.2-bb1 --R --R (6) --R +-------+ --R | 2 2 --R p\|q - p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (2q - 2p q)sinh(a x) + (2q - 2p q)cosh(a x) + 2p q - 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R - 2p\|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a q\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 50 cc3:=aa.1-bb2 --R --R (7) --R +-------+ --R | 2 2 --R p\|q - p --R * --R log --R 2 2 2 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p q)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2 2 --R 2p q cosh(a x) - q + 2p --R * --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- q + p --R + --R 3 2 3 2 2 3 --R (- 2q + 2p q)sinh(a x) + (- 2q + 2p q)cosh(a x) - 2p q + 2p --R / --R 2 2 --R q sinh(a x) + (2q cosh(a x) + 2p)sinh(a x) + q cosh(a x) --R + --R 2p cosh(a x) + q --R + --R +-------+ --R +---------+ | 2 2 --R | 2 2 (q sinh(a x) + q cosh(a x) + p)\|q - p --R 2p\|- q + p atan(-----------------------------------------) --R 2 2 --R q - p --R / --R +---------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R a q\|- q + p \|q - p --R Type: Expression Integer --E --S 51 14:634 Schaums and Axiom agree cc4:=aa.2-bb2 --R --R (8) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.635~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech}^n~{ax}}~dx$} $$\int{{\rm sech}^n~{ax}}= \frac{{\rm sech}^{n-2}~{ax}~\tanh{ax}}{a(n-1)} +\frac{n-2}{n-1}\int{{\rm sech}^{n-2}~{ax}} $$ <<*>>= )clear all --S 52 14:635 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(sech(a*x)^n,x) --R --R --R x --R ++ n --I (1) | sech(%O a) d%O --R ++ --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p91 \end{thebibliography} \end{document}