\documentclass{article} \usepackage{axiom} \begin{document} \title{\$SPAD/input schaum34.input} \author{Timothy Daly} \maketitle \eject \tableofcontents \eject \section{\cite{1}:14.646~~~~~$\displaystyle \int{\sinh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{\sinh^{-1}\frac{x}{a}}= x\sinh^{-1}\frac{x}{a}-\sqrt{x^2+a^2} $$ <<*>>= )spool schaum34.output )set message test on )set message auto off )clear all --S 1 aa:=integrate(asinh(x/a),x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 2 \|x + a + x | 2 2 2 2 --R (x\|x + a - x )log(--------------) + x\|x + a - x - a --R a --R (1) ------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 2 bb:=x*asinh(x/a)-sqrt(x^2+a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 x --R (2) - \|x + a + x asinh(-) --R a --R Type: Expression Integer --E --S 3 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + x x --R (3) x log(--------------) - x asinh(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 4 asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (4) asinh(x) == log(\|x + 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 5 dd:=asinhlogrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x + a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R \|x + a + x \| a --R (5) x log(--------------) - x log(---------------) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 6 ee:=expandLog dd --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 |x + a --R (6) x log(\|x + a + x) - x log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R Type: Expression Integer --E --S 7 14:646 Schaums and Axiom agree ff:=rootSimp ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.647~~~~~$\displaystyle \int{x\sinh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x\sinh^{-1}\frac{x}{a}}= \left(\frac{x^2}{2}+\frac{a^2}{4}\right)\sinh^{-1}\frac{x}{a} -\frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{4} $$ <<*>>= )clear all --S 8 aa:=integrate(x*asinh(x/a),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 \|x + a + x --R ((4x + 2a x)\|x + a - 4x - 4a x - a )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (2x + a x)\|x + a - 2x - 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 8x\|x + a - 8x - 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 9 bb:=(x^2/2+a^2/4)*asinh(x/a)-(x*sqrt(x^2+a^2))/4 --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 x --R - x\|x + a + (2x + a )asinh(-) --R a --R (2) ---------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 10 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 2 2 \|x + a + x 2 2 x --R (2x + a )log(--------------) + (- 2x - a )asinh(-) --R a a --R (3) ---------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 11 asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (4) asinh(x) == log(\|x + 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 12 dd:=asinhlogrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x + a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R 2 2 \|x + a + x 2 2 \| a --R (2x + a )log(--------------) + (- 2x - a )log(---------------) --R a a --R (5) ---------------------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 13 ee:=expandLog dd --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 2 2 | 2 2 2 2 |x + a --R (2x + a )log(\|x + a + x) + (- 2x - a )log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R (6) ---------------------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 14 14:647 Schaums and Axiom agree ff:=rootSimp ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.648~~~~~$\displaystyle \int{x^2\sinh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^2\sinh^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^3}{3}\sinh^{-1}\frac{x}{a}+\frac{(2a^2-x^2)\sqrt{x^2+a^2}}{9} $$ <<*>>= )clear all --S 15 aa:=integrate(x^2*asinh(x/a),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 \|x + a + x --R ((12x + 3a x )\|x + a - 12x - 9a x )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (4x - 5a x - 6a x)\|x + a - 4x + 3a x + 9a x + 2a --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (36x + 9a )\|x + a - 36x - 27a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 16 bb:=x^3/3*asinh(x/a)+((2*a^2-x^2)*sqrt(x^2+a^2))/9 --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 x --R (- x + 2a )\|x + a + 3x asinh(-) --R a --R (2) ------------------------------------ --R 9 --R Type: Expression Integer --E --S 17 cc:=aa-bb --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 3 \|x + a + x 3 x --R x log(--------------) - x asinh(-) --R a a --R (3) ---------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 18 asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (4) asinh(x) == log(\|x + 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 19 dd:=asinhlogrule cc --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x + a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R 3 \|x + a + x 3 \| a --R x log(--------------) - x log(---------------) --R a a --R (5) ---------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 20 ee:=expandLog dd --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 3 |x + a --R x log(\|x + a + x) - x log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R (6) ---------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 21 14:648 Schaums and Axiom agree ff:=rootSimp ee --R --R (7) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.649~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sinh^{-1}(x/a)}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\sinh^{-1}(x/a)}{x}}= \left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{x}{a}-\frac{(x/a)^3}{2\cdot 3\cdot 3} +\frac{1\cdot 3(x/a)^5}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 5} -\frac{1\cdot 3\cdot 5(x/a)^7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 7}+\cdots& |x| a\\ \\ \displaystyle -\frac{\ln^2(-2x/a)}{2}+\frac{(a/x)^2}{2\cdot 2\cdot 2} -\frac{1\cdot 3(a/x)^4}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 4} +\frac{1\cdot 3\cdot 5(a/x)^6}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 6}-\cdots& x<-a\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 22 14:649 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(asinh(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x asinh(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.650~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\sinh^{-1}(x/a)}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\sinh^{-1}(x/a)}{x^2}}= -\frac{\sinh^{-1}(x/a)}{x} -\frac{1}{a}\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 23 aa:=integrate(asinh(x/a)/x^2,x) --R --R --R (1) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - x log(\|x + a - x + a) + x log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + x --R - a log(--------------) --R a --R / --R a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 24 bb:=-asinh(x/a)/x-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a x --R - x log(--------------) - a asinh(-) --R x a --R (2) ------------------------------------ --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 25 cc:=aa-bb --R --R (3) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - x log(\|x + a - x + a) + x log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|x + a + x \|x + a + a x --R - a log(--------------) + x log(--------------) + a asinh(-) --R a x a --R / --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 26 asinhlogrule:=rule(asinh(x) == log(x+sqrt(x^2+1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (4) asinh(x) == log(\|x + 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 27 dd:=asinhlogrule cc --R --R (5) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - x log(\|x + a - x + a) + x log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x + a --R +-------+ +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 2 | 2 --R \|x + a + x \|x + a + a \| a --R - a log(--------------) + x log(--------------) + a log(---------------) --R a x a --R / --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 28 ee:=expandLog dd --R --R (6) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - a log(\|x + a + x) + x log(\|x + a + a) --R + --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - x log(\|x + a - x + a) + x log(\|x + a - x - a) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R |x + a --R a log(a |------- + x) - x log(x) --R | 2 --R \| a --R / --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 29 ff:=rootSimp ee --R --R (7) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R log(\|x + a + a) - log(\|x + a - x + a) + log(\|x + a - x - a) --R + --R - log(x) --R / --R a --R Type: Expression Integer --E --S 30 14:650 Schaums and Axiom differ by a constant gg:=complexNormalize ff --R --R log(- 1) --R (8) - -------- --R a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.651~~~~~$\displaystyle \int{\cosh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{\cosh^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x\cosh^{-1}(x/a)-\sqrt{x^2-a^2},\quad\cosh^{-1}\frac{x}{a} > 0\\ \\ \displaystyle x\cosh^{-1}(x/a)+\sqrt{x^2-a^2},\quad\cosh^{-1}\frac{x}{a} < 0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 31 aa:=integrate(acosh(x/a),x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 2 \|x - a + x | 2 2 2 2 --R (x\|x - a - x )log(--------------) + x\|x - a - x + a --R a --R (1) ------------------------------------------------------------- --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 32 bb1:=x*acosh(x/a)-sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 x --R (2) - \|x - a + x acosh(-) --R a --R Type: Expression Integer --E --S 33 bb2:=x*acosh(x/a)+sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 x --R (3) \|x - a + x acosh(-) --R a --R Type: Expression Integer --E --S 34 cc1:=aa-bb1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a + x x --R (4) x log(--------------) - x acosh(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 35 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R | 2 2 2 \|x - a + x x | 2 2 --R (x\|x - a - x )log(--------------) + (- x acosh(-) + 2x)\|x - a --R a a --R + --R 2 x 2 2 --R x acosh(-) - 2x + 2a --R a --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x - a - x --R Type: Expression Integer --E --S 36 acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (6) acosh(x) == log(\|x - 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 37 dd1:=acoshlogrule cc1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R \|x - a + x \| a --R (7) x log(--------------) - x log(---------------) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 38 ee1:=expandLog dd1 --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 |x - a --R (8) x log(\|x - a + x) - x log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R Type: Expression Integer --E --S 39 14:651 Schaums and Axiom agree ff1:=rootSimp ee1 --R --R (9) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.652~~~~~$\displaystyle \int{x\cosh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x\cosh^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{4}(2x^2-a^2)\cosh^{-1}(x/a)-\frac{1}{4}x\sqrt{x^2-a^2}, \quad\cosh^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{1}{4}(2x^2-a^2)\cosh^{-1}(x/a)+\frac{1}{4}x\sqrt{x^2-a^2}, \quad\cosh^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 40 aa:=integrate(x*acosh(x/a),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 \|x - a + x --R ((4x - 2a x)\|x - a - 4x + 4a x - a )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 3 2 | 2 2 4 2 2 --R (2x - a x)\|x - a - 2x + 2a x --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 8x\|x - a - 8x + 4a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 41 bb1:=1/4*(2*x^2-a^2)*acosh(x/a)-1/4*x*sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 x --R - x\|x - a + (2x - a )acosh(-) --R a --R (2) ---------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 42 bb2:=1/4*(2*x^2-a^2)*acosh(x/a)+1/4*x*sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R | 2 2 2 2 x --R x\|x - a + (2x - a )acosh(-) --R a --R (3) -------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 43 cc1:=aa-bb1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 2 2 \|x - a + x 2 2 x --R (2x - a )log(--------------) + (- 2x + a )acosh(-) --R a a --R (4) ---------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 44 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 2 | 2 2 4 2 2 4 \|x - a + x --R ((4x - 2a x)\|x - a - 4x + 4a x - a )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 3 2 x 3 2 | 2 2 --R ((- 4x + 2a x)acosh(-) + 4x - 2a x)\|x - a --R a --R + --R 4 2 2 4 x 4 2 2 --R (4x - 4a x + a )acosh(-) - 4x + 4a x --R a --R / --R +-------+ --R | 2 2 2 2 --R 8x\|x - a - 8x + 4a --R Type: Expression Integer --E --S 45 acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (6) acosh(x) == log(\|x - 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 46 dd1:=acoshlogrule cc1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R 2 2 \|x - a + x 2 2 \| a --R (2x - a )log(--------------) + (- 2x + a )log(---------------) --R a a --R (7) ---------------------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 47 ee1:=expandLog dd1 --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 2 2 | 2 2 2 2 |x - a --R (2x - a )log(\|x - a + x) + (- 2x + a )log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R (8) ---------------------------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 48 14:652 Schaums and Axiom agree ff1:=rootSimp ee1 --R --R (9) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.653~~~~~$\displaystyle \int{x^2\cosh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^2\cosh^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cosh^{-1}(x/a)-\frac{1}{9}(x^2+2a^2)\sqrt{x^2-a^2}, \quad\cosh^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{1}{3}x^3\cosh^{-1}(x/a)+\frac{1}{9}(x^2+2a^2)\sqrt{x^2-a^2}, \quad\cosh^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 49 aa:=integrate(x^2*acosh(x/a),x) --R --R --R (1) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 \|x - a + x --R ((12x - 3a x )\|x - a - 12x + 9a x )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 5 2 3 4 | 2 2 6 2 4 4 2 6 --R (4x + 5a x - 6a x)\|x - a - 4x - 3a x + 9a x - 2a --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (36x - 9a )\|x - a - 36x + 27a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 50 bb1:=1/3*x^3*acosh(x/a)-1/9*(x^2+2*a^2)*sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 x --R (- x - 2a )\|x - a + 3x acosh(-) --R a --R (2) ------------------------------------ --R 9 --R Type: Expression Integer --E --S 51 bb2:=1/3*x^3*acosh(x/a)+1/9*(x^2+2*a^2)*sqrt(x^2-a^2) --R --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 x --R (x + 2a )\|x - a + 3x acosh(-) --R a --R (3) ---------------------------------- --R 9 --R Type: Expression Integer --E --S 52 cc1:=aa-bb1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 3 \|x - a + x 3 x --R x log(--------------) - x acosh(-) --R a a --R (4) ---------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 53 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 5 2 3 | 2 2 6 2 4 \|x - a + x --R ((12x - 3a x )\|x - a - 12x + 9a x )log(--------------) --R a --R + --R +-------+ --R 5 2 3 x 5 2 3 4 | 2 2 --R ((- 12x + 3a x )acosh(-) + 8x + 10a x - 12a x)\|x - a --R a --R + --R 6 2 4 x 6 2 4 4 2 6 --R (12x - 9a x )acosh(-) - 8x - 6a x + 18a x - 4a --R a --R / --R +-------+ --R 2 2 | 2 2 3 2 --R (36x - 9a )\|x - a - 36x + 27a x --R Type: Expression Integer --E --S 54 acoshlogrule:=rule(acosh(x) == log(x+sqrt(x^2-1))) --R --R +------+ --R | 2 --R (6) acosh(x) == log(\|x - 1 + x) --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 55 dd1:=acoshlogrule cc1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R |x - a --R +-------+ a |------- + x --R | 2 2 | 2 --R 3 \|x - a + x 3 \| a --R x log(--------------) - x log(---------------) --R a a --R (7) ---------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 56 ee1:=expandLog dd1 --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R 3 | 2 2 3 |x - a --R x log(\|x - a + x) - x log(a |------- + x) --R | 2 --R \| a --R (8) ---------------------------------------------- --R 3 --R Type: Expression Integer --E --S 57 14:653 Schaums and Axiom agree ff1:=rootSimp ee1 --R --R (9) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.654~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh^{-1}(x/a)}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh^{-1}(x/a)}{x}}= \begin{array}{l} \displaystyle \pm\left[\frac{1}{2}\ln^2(2x/a)+\frac{(a/x)^2}{2\cdot 2\cdot 2} +\frac{1\cdot 3(a/x)^4}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 4} +\frac{1\cdot 3\cdot 5(a/x)^6}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 6}+\cdots\right]\\ \\ \displaystyle \hbox{\hskip 2cm}+{\rm if\ }\cosh^{-1}(x/a)>0, \quad -{\rm if\ }\cosh^{-1}(x/a)<0, \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 58 14:654 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(acosh(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x acosh(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.655~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\cosh^{-1}(x/a)}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\cosh^{-1}(x/a)}{x^2}}= \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{\cosh^{-1}(x/a)}{x} \mp\frac{1}{a}\ln\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right)\\ \\ \displaystyle \hbox{\hskip 1cm}-{\rm if\ }\cosh^{-1}(x/a)>0, \quad +{\rm if\ }\cosh^{-1}(x/a)<0, \end{array} $$ <<*>>= )clear all --S 59 aa:=integrate(acosh(x/a)/x^2,x) --R --R --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|x - a + x \|x - a - x --R - a log(--------------) + 2x atan(--------------) --R a a --R (1) ------------------------------------------------- --R a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 60 bb1:=-acosh(x/a)/x-1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a x --R - x log(--------------) - a acosh(-) --R x a --R (2) ------------------------------------ --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 61 bb2:=-acosh(x/a)/x+1/a*log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) --R --R +-------+ --R | 2 2 --R \|x + a + a x --R x log(--------------) - a acosh(-) --R x a --R (3) ---------------------------------- --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 62 cc1:=aa-bb1 --R --R (4) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R \|x + a + a \|x - a + x \|x - a - x --R x log(--------------) - a log(--------------) + 2x atan(--------------) --R x a a --R + --R x --R a acosh(-) --R a --R / --R a x --R Type: Expression Integer --E --S 63 14:655 Axiom cannot simplify these expressions cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 | 2 2 --R \|x + a + a \|x - a + x \|x - a - x --R - x log(--------------) - a log(--------------) + 2x atan(--------------) --R x a a --R + --R x --R a acosh(-) --R a --R / --R a x --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.656~~~~~$\displaystyle \int{\tanh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{\tanh^{-1}\frac{x}{a}}= x\tanh^{-1}\frac{x}{a}+\frac{a}{2}\ln(a^2-x^2) $$ <<*>>= )clear all --S 64 aa:=integrate(atanh(x/a),x) --R --R --R 2 2 - x - a --R a log(x - a ) + x log(-------) --R x - a --R (1) ------------------------------- --R 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 65 bb:=x*atanh(x/a)+a/2*log(a^2-x^2) --R --R 2 2 x --R a log(- x + a ) + 2x atanh(-) --R a --R (2) ------------------------------ --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 66 cc:=aa-bb --R --R 2 2 - x - a 2 2 x --R a log(x - a ) + x log(-------) - a log(- x + a ) - 2x atanh(-) --R x - a a --R (3) ---------------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 67 atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x))) --R --R - x - 1 --R log(-------) --R x - 1 --R (4) atanh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 68 dd:=atanhrule cc --R --R 2 2 2 2 --R a log(x - a ) - a log(- x + a ) --R (5) --------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 69 14:656 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R a log(- 1) --R (6) ---------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.657~~~~~$\displaystyle \int{x*\tanh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x*\tanh^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{ax}{2}+\frac{1}{2}(x^2-a^2)\tanh^{-1}\frac{x}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 70 aa:=integrate(x*atanh(x/a),x) --R --R --R 2 2 - x - a --R (x - a )log(-------) + 2a x --R x - a --R (1) ---------------------------- --R 4 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 71 bb:=(a*x)/2+1/2*(x^2-a^2)*atanh(x/a) --R --R 2 2 x --R (x - a )atanh(-) + a x --R a --R (2) ----------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 72 cc:=aa-bb --R --R 2 2 - x - a 2 2 x --R (x - a )log(-------) + (- 2x + 2a )atanh(-) --R x - a a --R (3) --------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 73 atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x))) --R --R - x - 1 --R log(-------) --R x - 1 --R (4) atanh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 74 14:657 Schaums and Axiom agree dd:=atanhrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.658~~~~~$\displaystyle \int{x^2\tanh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^2\tanh^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{ax^2}{6}+\frac{x^3}{3}\tanh^{-1}\frac{x}{a} +\frac{a^3}{6}\ln(a^2-x^2) $$ <<*>>= )clear all --S 75 aa:=integrate(x^2*atanh(x/a),x) --R --R --R 3 2 2 3 - x - a 2 --R a log(x - a ) + x log(-------) + a x --R x - a --R (1) -------------------------------------- --R 6 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 76 bb:=(a*x^2)/6+x^3/3*atanh(x/a)+a^3/6*log(a^2-x^2) --R --R 3 2 2 3 x 2 --R a log(- x + a ) + 2x atanh(-) + a x --R a --R (2) ------------------------------------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E --S 77 cc:=aa-bb --R --R 3 2 2 3 - x - a 3 2 2 3 x --R a log(x - a ) + x log(-------) - a log(- x + a ) - 2x atanh(-) --R x - a a --R (3) ---------------------------------------------------------------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E --S 78 atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x))) --R --R - x - 1 --R log(-------) --R x - 1 --R (4) atanh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 79 dd:=atanhrule cc --R --R 3 2 2 3 2 2 --R a log(x - a ) - a log(- x + a ) --R (5) --------------------------------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E --S 80 14:658 Schaums and Axiom differ by a constant ee:=complexNormalize dd --R --R 3 --R a log(- 1) --R (6) ---------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.659~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\tanh^{-1}(x/a)}{a}}~dx$} $$\int{\frac{\tanh^{-1}(x/a)}{a}}= \frac{x}{a}+\frac{(x/a)^3}{3^2}+\frac{(x/a)^5}{5^2}+\cdots $$ <<*>>= )clear all --S 81 14:659 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(atanh(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x atanh(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.660~~~~~$\displaystyle \int{\frac{tanh^{-1}(x/a)}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{tanh^{-1}(x/a)}{x^2}}= -\frac{\tanh^{-1}(x/a)}{x}+\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{x^2}{a^2-x^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 82 aa:=integrate(atanh(x/a)/x^2,x) --R --R --R 2 2 - x - a --R - x log(x - a ) + 2x log(x) - a log(-------) --R x - a --R (1) --------------------------------------------- --R 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 83 bb:=-atanh(x/a)/x+1/(2*a)*log(x^2/(a^2-x^2)) --R --R 2 --R x x --R x log(- -------) - 2a atanh(-) --R 2 2 a --R x - a --R (2) ------------------------------ --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 84 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 --R 2 2 x - x - a --R - x log(x - a ) + 2x log(x) - x log(- -------) - a log(-------) --R 2 2 x - a --R x - a --R + --R x --R 2a atanh(-) --R a --R / --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 85 atanhrule:=rule(atanh(x) == 1/2*log((1+x)/(1-x))) --R --R - x - 1 --R log(-------) --R x - 1 --R (4) atanh(x) == ------------ --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 86 dd:=atanhrule cc --R --R 2 --R 2 2 x --R - log(x - a ) + 2log(x) - log(- -------) --R 2 2 --R x - a --R (5) ----------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 87 14:660 Schaums and Axiom agree ee:=expandLog dd --R --R log(- 1) --R (6) - -------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.661~~~~~$\displaystyle \int{\coth^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{\coth^{-1}\frac{x}{a}}= x\coth^{-1}{x}+\frac{a}{2}\ln(x^2-a^2) $$ Note that it appears there is a typo in Schaums (1968 printing 4). $$\int{\coth^{-1}\frac{x}{a}}= x\coth^{-1}{x/a}+\frac{a}{2}\ln(x^2-a^2) $$ <<*>>= )clear all --S 88 aa:=integrate(acoth(x/a),x) --R --R --R 2 2 x + a --R a log(x - a ) + x log(-----) --R x - a --R (1) ----------------------------- --R 2 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 89 bb:=x*acoth(x/a)+a/2*log(x^2-a^2) --R --R 2 2 x --R a log(x - a ) + 2x acoth(-) --R a --R (2) ---------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 90 cc:=aa-bb --R --R x + a x --R x log(-----) - 2x acoth(-) --R x - a a --R (3) -------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 91 acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1))) --R --R x + 1 --R log(-----) --R x - 1 --R (4) acoth(x) == ---------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 92 14:661 Schaums and Axiom agree dd:=acothrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.662~~~~~$\displaystyle \int{x\coth^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x\coth^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{ax}{2}+\frac{1}{2}(x^2-a^2)\coth^{-1}\frac{x}{a} $$ <<*>>= )clear all --S 93 aa:=integrate(x*acoth(x/a),x) --R --R --R 2 2 x + a --R (x - a )log(-----) + 2a x --R x - a --R (1) -------------------------- --R 4 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 94 bb:=(a*x)/2+1/2*(x^2-a^2)*acoth(x/a) --R --R 2 2 x --R (x - a )acoth(-) + a x --R a --R (2) ----------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 95 cc:=aa-bb --R --R 2 2 x + a 2 2 x --R (x - a )log(-----) + (- 2x + 2a )acoth(-) --R x - a a --R (3) ------------------------------------------- --R 4 --R Type: Expression Integer --E --S 96 acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1))) --R --R x + 1 --R log(-----) --R x - 1 --R (4) acoth(x) == ---------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 97 14:662 Schaums and Axiom agree dd:=acothrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.663~~~~~$\displaystyle \int{x^2\coth^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^2\coth^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{ax^2}{6}+\frac{x^3}{3}\coth^{-1}\frac{x}{a} +\frac{a^3}{6}\ln(x^2-a^2) $$ <<*>>= )clear all --S 98 aa:=integrate(x^2*acoth(x/a),x) --R --R --R 3 2 2 3 x + a 2 --R a log(x - a ) + x log(-----) + a x --R x - a --R (1) ------------------------------------ --R 6 --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 99 bb:=(a*x^2)/6+x^3/3*acoth(x/a)+a^3/6*log(x^2-a^2) --R --R 3 2 2 3 x 2 --R a log(x - a ) + 2x acoth(-) + a x --R a --R (2) ----------------------------------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E --S 100 cc:=aa-bb --R --R 3 x + a 3 x --R x log(-----) - 2x acoth(-) --R x - a a --R (3) -------------------------- --R 6 --R Type: Expression Integer --E --S 101 acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1))) --R --R x + 1 --R log(-----) --R x - 1 --R (4) acoth(x) == ---------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 102 14:663 Schaums and Axiom agree dd:=acothrule cc --R --R (5) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.664~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\coth^{-1}(x/a)}{x}}~dx$} $$\int{\frac{\coth^{-1}(x/a)}{x}}= -\left(\frac{a}{x}+\frac{(a/x)^3}{3^2}+\frac{(a/x)^5}{5^2}+\cdots\right) $$ <<*>>= )clear all --S 103 14:664 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(acoth(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x acoth(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.665~~~~~$\displaystyle \int{\frac{\coth^{-1}(x/a)}{x^2}}~dx$} $$\int{\frac{\coth^{-1}(x/a)}{x^2}}= -\frac{\coth^{-1}(x/a)}{x}+\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{x^2}{x^2-a^2}\right) $$ <<*>>= )clear all --S 104 aa:=integrate(acoth(x/a)/x^2,x) --R --R --R 2 2 x + a --R - x log(x - a ) + 2x log(x) - a log(-----) --R x - a --R (1) ------------------------------------------- --R 2a x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 105 bb:=-acoth(x/a)/x+1/(2*a)*log(x^2/(x^2-a^2)) --R --R 2 --R x x --R x log(-------) - 2a acoth(-) --R 2 2 a --R x - a --R (2) ---------------------------- --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 106 cc:=aa-bb --R --R (3) --R 2 --R 2 2 x + a x x --R - x log(x - a ) + 2x log(x) - a log(-----) - x log(-------) + 2a acoth(-) --R x - a 2 2 a --R x - a --R -------------------------------------------------------------------------- --R 2a x --R Type: Expression Integer --E --S 107 acothrule:=rule(acoth(x) == 1/2*log((x+1)/(x-1))) --R --R x + 1 --R log(-----) --R x - 1 --R (4) acoth(x) == ---------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 108 dd:=acothrule cc --R --R 2 --R 2 2 x --R - log(x - a ) + 2log(x) - log(-------) --R 2 2 --R x - a --R (5) --------------------------------------- --R 2a --R Type: Expression Integer --E --S 109 14:665 Schaums and Axiom agree ee:=expandLog dd --R --R (6) 0 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.666~~~~~$\displaystyle \int{{\rm sech}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{{\rm sech}^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle x{\rm ~sech}^{-1}(x/a)+a\sin^{-1}(x/a),\quad{\rm sech}^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle x{\rm ~sech}^{-1}(x/a)-a\sin^{-1}(x/a),\quad{\rm sech}^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 110 aa:=integrate(asech(x/a),x) --R --R --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R (1) x log(----------------) - 2a atan(----------------) --R x x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 111 bb1:=x*asech(x/a)+a*asin(x/a) --R --R x x --R (2) a asin(-) + x asech(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 112 bb2:=x*asech(x/a)-a*asin(x/a) --R --R x x --R (3) - a asin(-) + x asech(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 113 cc1:=aa-bb1 --R --R (4) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a x x --R x log(----------------) - 2a atan(----------------) - a asin(-) - x asech(-) --R x x a a --R Type: Expression Integer --E --S 114 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a x x --R x log(----------------) - 2a atan(----------------) + a asin(-) - x asech(-) --R x x a a --R Type: Expression Integer --E --S 115 asechrule:=rule(asech(x) == log(1/x+sqrt(1/x^2-1))) --R --R +--------+ --R | 2 --R |- x + 1 --R x |-------- + 1 --R | 2 --R \| x --R (6) asech(x) == log(----------------) --R x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 116 dd1:=asechrule cc1 --R --R (7) --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R x |--------- + a +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x \|- x + a + a --R - x log(-----------------) + x log(----------------) --R x x --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a x --R - 2a atan(----------------) - a asin(-) --R x a --R Type: Expression Integer --E --S 117 asinrule:=rule(asin(x) == %i*log(-%i*x+sqrt(1-x^2))) --R --R +--------+ --R | 2 --R (8) asin(x) == %i log(\|- x + 1 - %i x) --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 118 ee1:=asinrule dd1 --R --R (9) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R x |--------- + a a |--------- - %i x --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R - x log(-----------------) - %i a log(--------------------) --R x a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R x log(----------------) - 2a atan(----------------) --R x x --R Type: Expression Complex Integer --E --S 119 atanrule:=rule(atan(x) == -%i/2*log((1+%i*x)/(1-%i*x))) --R --R - x + %i --R %i log(--------) --R x + %i --R (10) atan(x) == - ---------------- --R 2 --R Type: RewriteRule(Integer,Complex Integer,Expression Complex Integer) --E --S 120 ff1:=atanrule ee1 --R --R (11) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R x |--------- + a a |--------- - %i x --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R - x log(-----------------) - %i a log(--------------------) --R x a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a - \|- x + a + %i x + a --R x log(----------------) + %i a log(-------------------------) --R x +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 121 gg1:=expandLog ff1 --R --R (12) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R - x log(x |--------- + a) - %i a log(a |--------- - %i x) --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i a log(\|- x + a + %i x - a) + x log(\|- x + a + a) --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 122 hh1:=rootSimp gg1 --R --R (13) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) - %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) + %i a log(a) + %i a log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 123 14:666 Schaums and Axiom agree ii1:=complexNormalize hh1 --R --R (14) 0 --R Type: Expression Complex Integer --E @ Note that Axiom has a built-in assumption about the sign of asech(x/a). We can see this if we simplify the cc2 value and show that it differs by a complex value of x. <<*>>= --S 124 dd2:=asechrule cc2 --R --R (15) --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R x |--------- + a +---------+ --R | 2 | 2 2 --R \| x \|- x + a + a --R - x log(-----------------) + x log(----------------) --R x x --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a - a x --R - 2a atan(----------------) + a asin(-) --R x a --R Type: Expression Integer --E --S 125 ee2:=asinrule dd2 --R --R (16) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R x |--------- + a a |--------- - %i x --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R - x log(-----------------) + %i a log(--------------------) --R x a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a \|- x + a - a --R x log(----------------) - 2a atan(----------------) --R x x --R Type: Expression Complex Integer --E --S 126 ff2:=atanrule ee2 --R --R (17) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R x |--------- + a a |--------- - %i x --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R - x log(-----------------) + %i a log(--------------------) --R x a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R \|- x + a + a - \|- x + a + %i x + a --R x log(----------------) + %i a log(-------------------------) --R x +---------+ --R | 2 2 --R \|- x + a + %i x - a --R Type: Expression Complex Integer --E --S 127 gg2:=expandLog ff2 --R --R (18) --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R |- x + a |- x + a --R - x log(x |--------- + a) + %i a log(a |--------- - %i x) --R | 2 | 2 --R \| x \| a --R + --R +---------+ +---------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i a log(\|- x + a + %i x - a) + x log(\|- x + a + a) --R + --R +---------+ --R | 2 2 --R %i a log(\|- x + a - %i x - a) - %i a log(a) + %i a log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 128 hh2:=rootSimp gg2 --R --R (19) --R +-------+ +-------+ --R | 2 2 | 2 2 --R - %i a log(%i\|x - a + %i x - a) + %i a log(%i\|x - a - %i x) --R + --R +-------+ --R | 2 2 --R %i a log(%i\|x - a - %i x - a) - %i a log(a) + %i a log(- 1) --R Type: Expression Complex Integer --E --S 129 ii2:=complexNormalize hh2 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R (20) 2%i a log(%i\|x - a - %i x) - 2%i a log(a) --R Type: Expression Complex Integer --E @ Thus we can conjecture that solutions that show up with x in only the imaginary part do so when the assumption of the sign of an inverse function differs. \section{\cite{1}:14.667~~~~~$\displaystyle \int{x{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{2}x^2{\rm ~sech}^{-1}(x/a)-\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-x^2}, \quad{\rm sech}^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}x^2{\rm ~sech}^{-1}(x/a)+\frac{1}{2}a\sqrt{a^2-x^2}, \quad{\rm sech}^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 130 aa:=integrate(x*asech(x/a),x) --R --R --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 2 \|- x + a + a 2 --R (x \|- x + a - a x )log(----------------) + a x --R x --R (1) --------------------------------------------------- --R +---------+ --R | 2 2 --R 2\|- x + a - 2a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 131 bb1:=1/2*x^2*asech(x/a)-1/2*a*sqrt(a^2-x^2) --R --R +---------+ --R | 2 2 2 x --R - a\|- x + a + x asech(-) --R a --R (2) ---------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 132 bb2:=1/2*x^2*asech(x/a)+1/2*a*sqrt(a^2-x^2) --R --R +---------+ --R | 2 2 2 x --R a\|- x + a + x asech(-) --R a --R (3) -------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 133 cc1:=aa-bb1 --R --R +---------+ --R | 2 2 --R 2 \|- x + a + a 2 x 2 --R x log(----------------) - x asech(-) - a --R x a --R (4) ----------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 134 cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +---------+ --R +---------+ | 2 2 --R 2 | 2 2 2 \|- x + a + a --R (x \|- x + a - a x )log(----------------) --R x --R + --R +---------+ --R 2 x 2 | 2 2 2 x 2 3 --R (- x asech(-) + a )\|- x + a + a x asech(-) + 2a x - a --R a a --R / --R +---------+ --R | 2 2 --R 2\|- x + a - 2a --R Type: Expression Integer --E --S 135 asechrule:=rule(asech(x) == log(1/x+sqrt(1/x^2-1))) --R --R +--------+ --R | 2 --R |- x + 1 --R x |-------- + 1 --R | 2 --R \| x --R (6) asech(x) == log(----------------) --R x --R Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer) --E --S 136 dd1:=asechrule cc1 --R --R +---------+ --R | 2 2 --R |- x + a --R x |--------- + a +---------+ --R | 2 | 2 2 --R 2 \| x 2 \|- x + a + a 2 --R - x log(-----------------) + x log(----------------) - a --R x x --R (7) --------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 137 ee1:=expandLog dd1 --R --R +---------+ --R | 2 2 +---------+ --R 2 |- x + a 2 | 2 2 2 --R - x log(x |--------- + a) + x log(\|- x + a + a) - a --R | 2 --R \| x --R (8) --------------------------------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 138 14:667 Schaums and Axiom differ by a constant ff1:=rootSimp ee1 --R --R 2 --R a --R (9) - -- --R 2 --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.668~~~~~$\displaystyle \int{\frac{{\rm sech}^{-1}(x/a)}{x}}~dx$} $$\int{\frac{{\rm sech}^{-1}(x/a)}{x}}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{1}{2}\ln(a/x)\ln(4a/x)-\frac{(x/a)^2}{2\cdot 2\cdot 2} -\frac{1\cdot 3(x/a)^4}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 4} -\cdots,\quad{\rm sech}^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{1}{2}\ln(a/x)\ln(4a/x)+\frac{(x/a)^2}{2\cdot 2\cdot 2} +\frac{1\cdot 3(x/a)^4}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 4} +\cdots,\quad{\rm sech}^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ This is a interesting result since Axiom gives a closed form solution to the problem but Schaums gives a series solution. <<*>>= )clear all --S 139 14:668 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(asech(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x asech(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.669~~~~~$\displaystyle \int{{\rm csch}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{{\rm csch}^{-1}\frac{x}{a}}= x{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}\pm a\sinh^{-1}\frac{x}{a} \quad +{\rm if\ }x>0, -{\rm if\ }x<0 $$ <<*>>= )clear all --S 140 aa:=integrate(acsch(x/a),x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 \|x + a + a --R (1) - a log(\|x + a - x) + x log(--------------) --R x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 141 bb1:=x*acsch(x/a)+a*asinh(x/a) --R --R x x --R (2) a asinh(-) + x acsch(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 142 bb2:=x*acsch(x/a)-a*asinh(x/a) --R --R x x --R (3) - a asinh(-) + x acsch(-) --R a a --R Type: Expression Integer --E --S 143 cc1:=aa-bb1 --R --R (4) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 \|x + a + a x x --R - a log(\|x + a - x) + x log(--------------) - a asinh(-) - x acsch(-) --R x a a --R Type: Expression Integer --E --S 144 14:669 Axiom cannot simplify these expressions cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 --R | 2 2 \|x + a + a x x --R - a log(\|x + a - x) + x log(--------------) + a asinh(-) - x acsch(-) --R x a a --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.670~~~~~$\displaystyle \int{x{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^2}{2}{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}\pm \frac{a\sqrt{x^2+a^2}}{2} \quad +{\rm if\ }x>0, -{\rm if\ }x<0 $$ <<*>>= )clear all --S 145 aa:=integrate(x*acsch(x/a),x) --R --R --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R 2 | 2 2 3 \|x + a + a | 2 2 2 3 --R (x \|x + a - x )log(--------------) - a x\|x + a + a x + a --R x --R (1) ------------------------------------------------------------------ --R +-------+ --R | 2 2 --R 2\|x + a - 2x --R Type: Union(Expression Integer,...) --E --S 146 bb1:=x^2/2*acsch(x/a)+(a*sqrt(x^2+a^2))/2 --R --R +-------+ --R | 2 2 2 x --R a\|x + a + x acsch(-) --R a --R (2) ------------------------ --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 147 bb2:=x^2/2*acsch(x/a)-(a*sqrt(x^2+a^2))/2 --R --R +-------+ --R | 2 2 2 x --R - a\|x + a + x acsch(-) --R a --R (3) -------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 148 cc1:=aa-bb1 --R --R +-------+ --R | 2 2 --R 2 \|x + a + a 2 x --R x log(--------------) - x acsch(-) --R x a --R (4) ---------------------------------- --R 2 --R Type: Expression Integer --E --S 149 14:670 Axiom cannot simplify these expressions cc2:=aa-bb2 --R --R (5) --R +-------+ --R +-------+ | 2 2 +-------+ --R 2 | 2 2 3 \|x + a + a 2 x | 2 2 --R (x \|x + a - x )log(--------------) + (- x acsch(-) - 2a x)\|x + a --R x a --R + --R 3 x 2 3 --R x acsch(-) + 2a x + 2a --R a --R / --R +-------+ --R | 2 2 --R 2\|x + a - 2x --R Type: Expression Integer --E @ \section{\cite{1}:14.671~~~~~$\displaystyle \int{\frac{{\rm csch}^{-1}(x/a)}{x}}~dx$} $$\int{\frac{{\rm csch}^{-1}(x/a)}{x}}= \left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{1}{2}\ln(x/a)\ln(4a/x)+\frac{1(x/a)^2}{2\cdot 2\cdot 2} -\frac{1\cdot 3(x/a)^4}{2\cdot 4\cdot 4\cdot 4}+\cdots& 0a \end{array} \right. $$ Schaums gives 3 different series expansions for this integral but Axiom has computed a closed form. <<*>>= )clear all --S 150 14:671 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(acsch(x/a)/x,x) --R --R --I %P --R x acsch(--) --R ++ a --I (1) | --------- d%P --I ++ %P --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.672~~~~~$\displaystyle \int{x^m\sinh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m\sinh^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^{m+1}}{m+1}\sinh^{-1}\frac{x}{a} -\frac{1}{m+1}\int{\frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^2+a^2}}} $$ <<*>>= )clear all --S 151 14:672 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*asinh(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | asinh(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.673~~~~~$\displaystyle \int{x^m\cosh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m\cosh^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{x^{m+1}}{m+1}\cosh^{-1}\frac{x}{a} -\frac{1}{m+1}\int{\frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^2-a^2}}},& \quad\cosh^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{x^{m+1}}{m+1}\cosh^{-1}\frac{x}{a} +\frac{1}{m+1}\int{\frac{x^{m+1}}{\sqrt{x^2-a^2}}},& \quad\cosh^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 152 14:673 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*acosh(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | acosh(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.674~~~~~$\displaystyle \int{x^m\tanh^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m\tanh^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^{m+1}}{m+1}\tanh^{-1}\frac{x}{a} -\frac{a}{m+1}\int{\frac{x^{m+1}}{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 153 14:674 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*atanh(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | atanh(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.675~~~~~$\displaystyle \int{x^m\coth^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m\coth^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^{m+1}}{m+1}\coth^{-1}\frac{x}{a} -\frac{a}{m+1}\int{\frac{x^{m+1}}{a^2-x^2}} $$ <<*>>= )clear all --S 154 14:675 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*acoth(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | acoth(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.676~~~~~$\displaystyle \int{x^m{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a}}= \left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{x^{m+1}}{m+1}{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a} +\frac{a}{m+1}\int{\frac{x^m}{\sqrt{a^2-x^2}}}& {\rm sech}^{-1}(x/a)>0\\ \\ \displaystyle \frac{x^{m+1}}{m+1}{\rm ~sech}^{-1}\frac{x}{a} -\frac{a}{m+1}\int{\frac{x^m}{\sqrt{a^2-x^2}}}& {\rm sech}^{-1}(x/a)<0\\ \end{array} \right. $$ <<*>>= )clear all --S 155 14:676 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*asech(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | asech(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E @ \section{\cite{1}:14.677~~~~~$\displaystyle \int{x^m{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}}~dx$} $$\int{x^m{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a}}= \frac{x^{m+1}}{m+1}{\rm ~csch}^{-1}\frac{x}{a} \pm\frac{a}{m+1}\int{\frac{x^m}{\sqrt{x^2+a^2}}} \quad+{\rm if\ }x>0 ~-{\rm if\ }x<0 $$ <<*>>= )clear all --S 156 14:677 Axiom cannot compute this integral aa:=integrate(x^m*acsch(x/a),x) --R --R --R x --I ++ %P m --I (1) | acsch(--)%P d%P --R ++ a --R Type: Union(Expression Integer,...) --E )spool )lisp (bye) @ \eject \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} Spiegel, Murray R. {\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\ Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 pp92-93 \end{thebibliography} \end{document}