\documentclass{article}
\usepackage{axiom}
\begin{document}
\title{\$SPAD/input schaum4.input}
\author{Timothy Daly}
\maketitle
\eject
\tableofcontents
\eject
\section{\cite{1}:14.113~~~~~$\displaystyle\int{\frac{px+q}{\sqrt{ax+b}}}~dx$}
$$\int{\frac{px+q}{\sqrt{ax+b}}}=
\frac{2(apx+3aq-2bp)}{3a^2}\sqrt{ax+b}$$
<<*>>=
)spool schaum4.output
)set message test on
)set message auto off
)clear all

--S 1
aa:=integrate((p*x+q)/sqrt(a*x+b),x)
--R 
--R
--R                               +-------+
--R        (2a p x + 6a q - 4b p)\|a x + b
--R   (1)  --------------------------------
--R                         2
--R                       3a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

--S 2
bb:=(2*(a*p*x+3*a*q-2*b*p))/(3*a^2)*sqrt(a*x+b)
--R
--R                               +-------+
--R        (2a p x + 6a q - 4b p)\|a x + b
--R   (2)  --------------------------------
--R                         2
--R                       3a
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 3      14:113 Schaums and Axiom agree
cc:=aa-bb
--R
--R   (3)  0
--R                                                     Type: Expression Integer
--E
@

\section{\cite{1}:14.114~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{(px+q)\sqrt{ax+b}}}$}
$$\int{\frac{1}{(px+q)\sqrt{ax+b}}}=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{1}{\sqrt{bp-aq}\sqrt{p}}\ln\left(
\frac{\sqrt{p(ax+b)}-\sqrt{bp-aq}}{\sqrt{p(ax+b)}+\sqrt{bp-aq}}\right)\\
\frac{2}{\sqrt{aq-bp}\sqrt{p}}\tan^{-1}\sqrt{\frac{p(ax+b)}{aq-bp}}
\end{array}
\right.
$$
<<*>>=
)clear all

--S 4
aa:=integrate(1/((p*x+q)*sqrt(a*x+b)),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R                                                          +--------------+
--R                      2  +-------+                        |             2
--R        (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R    log(------------------------------------------------------------------)
--R                                      p x + q
--R   [-----------------------------------------------------------------------,
--R                                +--------------+
--R                                |             2
--R                               \|- a p q + b p
--R           +------------+
--R           |           2  +-------+
--R          \|a p q - b p  \|a x + b
--R    2atan(-------------------------)
--R                  a q - b p
--R    --------------------------------]
--R              +------------+
--R              |           2
--R             \|a p q - b p
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 5
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                                                         +--------------+
--R                     2  +-------+                        |             2
--R       (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R   log(------------------------------------------------------------------)
--R                                     p x + q
--R   -----------------------------------------------------------------------
--R                               +--------------+
--R                               |             2
--R                              \|- a p q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 6
aa2:=aa.2
--R
--R               +------------+
--R               |           2  +-------+
--R              \|a p q - b p  \|a x + b
--R        2atan(-------------------------)
--R                      a q - b p
--R   (3)  --------------------------------
--R                  +------------+
--R                  |           2
--R                 \|a p q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 7
bb1:=1/sqrt(b*p-a*q)*log((sqrt(p*(a*x+b))-sqrt(b*p-a*q))/(sqrt(p*(a*x+b))+sqrt(b*p-a*q)))
--R
--R             +-----------+    +-----------+
--R            \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R        log(-------------------------------)
--R             +-----------+    +-----------+
--R            \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R   (4)  ------------------------------------
--R                    +-----------+
--R                   \|- a q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 8
bb2:=2/(sqrt(a*q-b*p)*sqrt(p))*atan(sqrt((p*(a*x+b))/(a*q-b*p)))
--R
--R               +-----------+
--R               |a p x + b p
--R        2atan( |----------- )
--R              \| a q - b p
--R   (5)  ---------------------
--R            +-+ +---------+
--R           \|p \|a q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 9
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (6)
--R          +-----------+
--R         \|- a q + b p
--R      *
--R                                                             +--------------+
--R                         2  +-------+                        |             2
--R           (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R       log(------------------------------------------------------------------)
--R                                         p x + q
--R     + 
--R          +--------------+     +-----------+    +-----------+
--R          |             2     \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a p q + b p  log(-------------------------------)
--R                               +-----------+    +-----------+
--R                              \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R  /
--R      +--------------+
--R      |             2  +-----------+
--R     \|- a p q + b p  \|- a q + b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 10
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (7)
--R          +-+ +---------+
--R         \|p \|a q - b p
--R      *
--R                                                             +--------------+
--R                         2  +-------+                        |             2
--R           (2a p q - 2b p )\|a x + b  + (a p x - a q + 2b p)\|- a p q + b p
--R       log(------------------------------------------------------------------)
--R                                         p x + q
--R     + 
--R           +--------------+      +-----------+
--R           |             2       |a p x + b p
--R       - 2\|- a p q + b p  atan( |----------- )
--R                                \| a q - b p
--R  /
--R      +--------------+
--R      |             2  +-+ +---------+
--R     \|- a p q + b p  \|p \|a q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 11
cc3:=aa2-bb1
--R
--R   (8)
--R          +------------+     +-----------+    +-----------+
--R          |           2     \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|a p q - b p  log(-------------------------------)
--R                             +-----------+    +-----------+
--R                            \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     + 
--R                            +------------+
--R                            |           2  +-------+
--R         +-----------+     \|a p q - b p  \|a x + b
--R       2\|- a q + b p atan(-------------------------)
--R                                   a q - b p
--R  /
--R                    +------------+
--R      +-----------+ |           2
--R     \|- a q + b p \|a p q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 12     14:114 Axiom cannot simplify these answers
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (9)
--R                              +------------+
--R                              |           2  +-------+
--R         +-+ +---------+     \|a p q - b p  \|a x + b
--R       2\|p \|a q - b p atan(-------------------------)
--R                                     a q - b p
--R     + 
--R           +------------+      +-----------+
--R           |           2       |a p x + b p
--R       - 2\|a p q - b p  atan( |----------- )
--R                              \| a q - b p
--R  /
--R                      +------------+
--R      +-+ +---------+ |           2
--R     \|p \|a q - b p \|a p q - b p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

@

\section{\cite{1}:14.115~~~~~$\displaystyle\int{\frac{\sqrt{ax+b}}{px+q}}~dx$}
$$\int{\frac{\sqrt{ax+b}}{px+q}}=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{2\sqrt{ax+b}}{p}+\frac{\sqrt{bp-aq}}{p\sqrt{p}}\ln\left(
\frac{\sqrt{p(ax+b)}-\sqrt{bp-aq}}{\sqrt{p(ax+b)}+\sqrt{bp-aq}}\right)\\
\frac{2\sqrt{ax+b}}{p}-\frac{2\sqrt{aq-bp}}{p\sqrt{p}}
\tan^{-1}\sqrt{\frac{p(ax+b)}{aq-bp}}
\end{array}
\right.$$
<<*>>=
)clear all

--S 13
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/(p*x+q),x)
--R 
--R
--R   (1)
--R   [
--R                                +-----------+
--R                                |- a q + b p  +-------+
--R          +-----------+    - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R          |- a q + b p         \|     p
--R          |----------- log(-------------------------------------------------)
--R         \|     p                               p x + q
--R       + 
--R           +-------+
--R         2\|a x + b
--R    /
--R       p
--R     ,
--R         +---------+       +-------+
--R         |a q - b p       \|a x + b       +-------+
--R    - 2  |--------- atan(------------ + 2\|a x + b
--R        \|    p           +---------+
--R                          |a q - b p
--R                          |---------
--R                         \|    p
--R    -----------------------------------------------]
--R                           p
--R                                     Type: Union(List Expression Integer,...)
--E 

--S 14
aa1:=aa.1
--R
--R   (2)
--R                              +-----------+
--R                              |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+    - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R        |- a q + b p         \|     p
--R        |----------- log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                               p x + q
--R     + 
--R         +-------+
--R       2\|a x + b
--R  /
--R     p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 15
aa2:=aa.2
--R
--R             +---------+       +-------+
--R             |a q - b p       \|a x + b       +-------+
--R        - 2  |--------- atan(------------ + 2\|a x + b
--R            \|    p           +---------+
--R                              |a q - b p
--R                              |---------
--R                             \|    p
--R   (3)  -----------------------------------------------
--R                               p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 16
bb1:=(2*sqrt(a*x+b))/p+sqrt(b*p-a*q)/(p*sqrt(p))*log((sqrt(p*(a*x+b))-sqrt(b*p-a*q))/(sqrt(p*(a*x+b))+sqrt(b*p-a*q)))
--R
--R                           +-----------+    +-----------+
--R         +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p       +-+ +-------+
--R        \|- a q + b p log(-------------------------------) + 2\|p \|a x + b
--R                           +-----------+    +-----------+
--R                          \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R   (4)  --------------------------------------------------------------------
--R                                          +-+
--R                                        p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 17
bb2:=(2*sqrt(a*x+b))/p-(2*sqrt(a*q-b*p))/(p*sqrt(p))*atan(sqrt((p*(a*x+b))/(a*q-b*p)))
--R
--R                             +-----------+
--R            +---------+      |a p x + b p       +-+ +-------+
--R        - 2\|a q - b p atan( |----------- ) + 2\|p \|a x + b
--R                            \| a q - b p
--R   (5)  -----------------------------------------------------
--R                                  +-+
--R                                p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 18
cc1:=aa1-bb1
--R
--R   (6)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R          +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a q + b p log(-------------------------------)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R                           \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     + 
--R                                  +-----------+
--R                                  |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+        - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R        |- a q + b p  +-+        \|     p
--R        |----------- \|p log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                                   p x + q
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 19
cc2:=aa1-bb2
--R
--R   (7)
--R                                  +-----------+
--R                                  |- a q + b p  +-------+
--R        +-----------+        - 2p |----------- \|a x + b  + a p x - a q + 2b p
--R        |- a q + b p  +-+        \|     p
--R        |----------- \|p log(-------------------------------------------------)
--R       \|     p                                   p x + q
--R     + 
--R                          +-----------+
--R         +---------+      |a p x + b p
--R       2\|a q - b p atan( |----------- )
--R                         \| a q - b p
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 20
cc3:=aa2-bb1
--R
--R   (8)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R          +-----------+    \|a p x + b p  - \|- a q + b p
--R       - \|- a q + b p log(-------------------------------)
--R                            +-----------+    +-----------+
--R                           \|a p x + b p  + \|- a q + b p
--R     + 
--R               +---------+       +-------+
--R           +-+ |a q - b p       \|a x + b
--R       - 2\|p  |--------- atan(------------)
--R              \|    p           +---------+
--R                                |a q - b p
--R                                |---------
--R                               \|    p
--R  /
--R       +-+
--R     p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

--S 21     14:115 Axiom cannot simplify these answers
cc4:=aa2-bb2
--R
--R   (9)
--R           +---------+       +-------+                        +-----------+
--R       +-+ |a q - b p       \|a x + b        +---------+      |a p x + b p
--R   - 2\|p  |--------- atan(------------) + 2\|a q - b p atan( |----------- )
--R          \|    p           +---------+                      \| a q - b p
--R                            |a q - b p
--R                            |---------
--R                           \|    p
--R   -------------------------------------------------------------------------
--R                                       +-+
--R                                     p\|p
--R                                                     Type: Expression Integer
--E

@

\section{\cite{1}:14.116~~~~~$\displaystyle\int{(px+b)^n\sqrt{ax+b}}~dx$}
$$\int{(px+b)^n\sqrt{ax+b}}=
\frac{2(px+q)^{n+1}\sqrt{ax+b}}{(2n+3)p}+\frac{bp-aq}{(2n+3)p}
\int{\frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}}}$$

<<*>>=
)clear all

--S 22     14:116 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate((p*x+q)^n*sqrt(a*x+b),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++            n +--------+
--I   (1)   |   (q + %L p) \|b + %L a d%L
--R        ++
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.117~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{dx}{(px+b)^n\sqrt{ax+b}}}$}
$$\int{\frac{1}{(px+b)^n\sqrt{ax+b}}}=
\frac{\sqrt{ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}+
\frac{(2n-3)a}{2(n-1)(aq-bp)}
\int{\frac{1}{(px+q)^{n-1}\sqrt{ax+b}}}$$

<<*>>=
)clear all

--S 23     14:117 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(1/((p*x+q)^n*sqrt(a*x+b)),x)
--R 
--R
--R           x
--R         ++             1
--I   (1)   |   ---------------------- d%L
--R        ++             n +--------+
--I             (q + %L p) \|b + %L a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 
@

\section{\cite{1}:14.118~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}}}~dx$}
$$\int{\frac{(px+q)^n}{\sqrt{ax+b}}}=
\frac{2(px+q)^n\sqrt{ax+b}}{(2n+1)a}+
\frac{2n(aq-bp)}{(2n+1)a}
\int{\frac{(px+q)^{n-1}}{\sqrt{ax+b}}}$$
<<*>>=
)clear all

--S 24     14:118 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate((p*x+q)^n/sqrt(a*x+b),x)
--R 
--R
--R           x           n
--I         ++  (q + %L p)
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++    +--------+
--I             \|b + %L a
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E
@

\section{\cite{1}:14.119~~~~~$\displaystyle
\int{\frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}}~dx$}
$$\int{\frac{\sqrt{ax+b}}{(px+q)^n}}=
\frac{-\sqrt{ax+b}}{(n-1)p(px+q)^{n-1}}+
\frac{a}{2(n-1)p}\int{\frac{1}{(px+q)^{n-1}\sqrt{ax+b}}}$$
<<*>>=
)clear all

--S 25     14:119 Axiom cannot compute this integral
aa:=integrate(sqrt(a*x+b)/(p*x+q)^n,x)
--R 
--R
--R           x  +--------+
--I         ++  \|b + %L a
--I   (1)   |   ----------- d%L
--R        ++             n
--I             (q + %L p)
--R                                          Type: Union(Expression Integer,...)
--E 

)spool
)lisp (bye)
@

\eject
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{1} Spiegel, Murray R.
{\sl Mathematical Handbook of Formulas and Tables}\\
Schaum's Outline Series McGraw-Hill 1968 p63
\end{thebibliography}
\end{document}